Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Die Axiome von ZF und ZFC

ZF hat unendlich viele Axiome, da zwei Axiomenschemata (8. und 9.) verwendet werden, die zu jedem Prädikat mit bestimmten Eigenschaften je ein Axiom angeben. Als logische Grundlage dient die Prädikatenlogik der ersten Stufe mit Identität und dem undefinierten Elementprädikat .

1. Extensionalitätsaxiom oder Axiom der Bestimmtheit: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

2. Leermengenaxiom oder Nullmengenaxiom: Es gibt eine Menge ohne Elemente.

Aus dem Extensionalitätsaxiom folgt unmittelbar die Eindeutigkeit dieser Menge B, das heißt, dass es auch nicht mehr als eine solche Menge gibt. Diese wird meist als geschrieben und leere Menge genannt. Das bedeutet: Die leere Menge ist in ZF das einzige Urelement. Andere Urelemente sind nur beim allgemeineren originalen Axiom der Bestimmtheit von Zermelo möglich.

3. Paarmengenaxiom: Für alle A und B gibt es eine Menge C, die genau A und B als Elemente hat.

Offenbar ist auch diese Menge C eindeutig bestimmt. Sie wird geschrieben als {A,B}. Die Menge {A,A} wird üblicherweise als {A} geschrieben.

4. Vereinigungsaxiom: Für jede Menge A gibt es eine Menge B, die genau die Elemente der Elemente von A als Elemente enthält.

Auch die Menge B ist eindeutig bestimmt und heißt die Vereinigung der Elemente von A, geschrieben als . Zusammen mit dem Paarmengenaxiom lässt sich die Vereinigung definieren.

5. Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Menge A, die die leere Menge und mit jedem Element x auch die Menge enthält (vgl. Induktive Menge).

Es gibt viele derartige Mengen. Der Schnitt aller dieser Mengen ist die kleinste Menge mit diesen Eigenschaften und bildet die Menge der natürlichen Zahlen; die Bildung der Schnittmenge erfolgt durch Anwendung des Aussonderungsaxioms (s.u.). Die natürlichen Zahlen werden also dargestellt durch

6. Potenzmengenaxiom: Für jede Menge A gibt es eine Menge P, deren Elemente genau die Teilmengen von A sind.

Die Menge P ist eindeutig bestimmt. Sie heißt die Potenzmenge von A und wird mit bezeichnet.

7. Fundierungsaxiom oder Regularitätsaxiom: Jede nichtleere Menge A enthält ein Element B, so dass A und B disjunkt sind.

Das Element B, welches zu A disjunkt ist, ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt.

Das Fundierungsaxiom verhindert, dass es unendliche oder zyklische Folgen von Mengen gibt, bei denen jeweils eine in der nächsten enthalten ist, , denn dann könnte man eine Menge A = {x₁ , x₂ , x₃ , ...} bilden, die dem Axiom widerspricht: Für jedes ist , die beiden Mengen sind also nicht disjunkt.

8. Aussonderungsaxiom: Hier handelt es sich um ein Axiomenschema mit je einem Axiom zu jedem einstelligen Prädikat P: Zu jeder Menge A existiert eine Teilmenge B von A, die genau die Elemente C von A enthält, für die P(C) wahr ist.

Für jedes einstellige Prädikat P gilt:

Aus dem Extensionalitätsaxiom ergibt sich sofort, dass es genau eine solche Menge gibt. Diese wird mit notiert.

9. Ersetzungsaxiom (Fraenkel): Ist A eine Menge und wird jedes Element von A eindeutig durch eine beliebige Menge ersetzt, so geht A in eine Menge über. Die Ersetzung wird präzisiert durch zweistellige Prädikate mit ähnlichen Eigenschaften wie eine Funktion, und zwar als Axiomenschema für jedes zweistellige Prädikat F:

Die Menge B ist eindeutig bestimmt und wird als notiert.

In der Mathematik wird häufig auch das Auswahlaxiom benutzt, das ZF zu ZFC erweitert:

10. Auswahlaxiom: Ist A eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von A enthält. Dieses Axiom hat eine komplizierte Formel, die mit dem Eindeutigkeitsquantor etwas vereinfacht werden kann:

Eine andere übliche verbale Formulierung des Auswahlaxioms lautet: Ist A eine Menge nichtleerer Mengen, dann gibt es eine Funktion f (von A in seine Vereinigung), die jedem Element B von A ein Element von B zuordnet („ein Element von B auswählt“).

Mit den ZF-Axiomen kann man die Äquivalenz des Auswahlaxioms mit dem Wohlordnungssatz und dem Lemma von Zorn ableiten.

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