Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Bedeutung

Es hat sich gezeigt – dies ist eine empirische Feststellung –, dass sich so gut wie alle bekannten mathematischen Aussagen so formulieren lassen, dass sich beweisbare Aussagen aus ZFC ableiten lassen. Die ZFC-Mengenlehre ist daher ein bewährter und weithin akzeptierter Rahmen für die ganze Mathematik geworden. Ausnahmen finden sich zwar überall dort, wo man mit echten Klassen arbeiten muss oder will. Man benutzt dann gewisse Erweiterungen von ZFC, die Klassen oder zusätzliche sehr große Mengen zur Verfügung stellen, etwa eine Erweiterung zur ZFC-Klassenlogik oder die Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre oder ein Grothendieck-Universum. In jedem Fall wird ZFC heute aber als das grundlegende Axiomensystem für die Mathematik angesehen.

Wegen der grundlegenden Bedeutung der ZFC-Mengenlehre für die Mathematik wurde seit 1918 im Rahmen des Hilbert-Programms ein Widerspruchsfreiheitsbeweis für die Mengenlehre gesucht. Gödel, der sich mit wichtigen Beiträgen an diesem Programm beteiligte, konnte aber 1930 in seinem Zweiten Unvollständigkeitssatz zeigen, dass ein solcher Widerspruchsfreiheitsbeweis im Rahmen einer widerspruchsfreien ZFC-Mengenlehre unmöglich ist. Die Annahme der Widerspruchsfreiheit von ZFC bleibt daher eine durch Erfahrung gehärtete Arbeitshypothese der Mathematiker:

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