Zahlentheorie

Teilgebiete

Analytische Zahlentheorie

Als erster wurde Euler darauf aufmerksam, dass man Methoden der Analysis und Funktionentheorie benutzen kann, um zahlentheoretische Fragestellungen zu lösen. Eine solche Herangehensweise bezeichnet man als analytische Zahlentheorie. Wichtige Probleme, die mit analytischen Methoden gelöst wurden, betreffen meist statistische Fragen nach der Verteilung von Primzahlen und der Asymptotik. Dazu gehören zum Beispiel der von Gauß vermutete, aber erst Ende des 19. Jahrhunderts bewiesene Primzahlsatz und der dirichletsche Satz über Primzahlen in arithmetischen Progressionen. Daneben dienen analytische Methoden auch dazu, die Transzendenz von Zahlen wie der Kreiszahl π oder der Eulerschen Zahl e nachzuweisen. Im Zusammenhang mit dem Primzahlsatz wurde erstmals die Riemannsche Zeta-Funktion untersucht, die heute zusammen mit ihren Verallgemeinerungen (allgemeine Zeta-Funktionen) Gegenstand sowohl analytischer als auch algebraischer Forschung und Ausgangspunkt der Riemannschen Vermutung ist.

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