Zahlentheorie

Historische Entwicklung

Zahlentheorie in der frühen Neuzeit

Der erste wichtige Vertreter der Zahlentheorie der Neuzeit war Pierre de Fermat (1607–1665). Er bewies den kleinen Satz von Fermat, untersuchte die Darstellbarkeit einer Zahl als Summe zweier Quadrate und erfand die Methode des unendlichen Abstiegs, mit der er den von ihm aufgestellten großen Satz von Fermat im Fall n = 4 lösen konnte. Der Versuch einer allgemeinen Lösung des großen Satzes inspirierte die Methoden der Zahlentheorie über die nächsten Jahrhunderte bis in die Moderne.

Das achtzehnte Jahrhundert der Zahlentheorie wird vor allem von drei Mathematikern beherrscht: Leonhard Euler (1707–1783), Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) und Adrien-Marie Legendre (1752–1833).

Eulers Gesamtwerk ist sehr umfangreich, und an dieser Stelle kann nur ein kleiner Teil seines zahlentheoretischen Wirkens genannt werden. Er führte die analytischen Methoden in die Zahlentheorie ein und fand auf diese Weise einen neuen Beweis für die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen. Er erfand die zahlentheoretischen Funktionen, insbesondere die Eulersche φ-Funktion, untersuchte Partitionen und betrachtete bereits hundert Jahre vor Bernhard Riemann die Riemannsche Zeta-Funktion. Er entdeckte das quadratische Reziprozitätsgesetz (konnte es aber nicht beweisen), zeigte, dass die eulersche Zahl e irrational ist und löste den großen Satz von Fermat im Fall n = 3.

Lagrange bewies den Satz von Wilson, begründete die systematische Theorie der Pellschen Gleichung und die Theorie der quadratischen Formen, die erst in der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts ihren Abschluss fand.

Legendre führte das Legendre-Symbol in die Zahlentheorie ein und formuliert das quadratische Reziprozitätsgesetz in seiner heutigen Form. Sein Beweis verwendet allerdings die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen in arithmetischen Progressionen, die erst 1832 von Peter Gustav Lejeune Dirichlet bewiesen wurde.

Die nächste große Zäsur in der Geschichte der Zahlentheorie wird durch das Wirken von Carl Friedrich Gauß (1777–1855) bestimmt. Gauß gab als Erster zwei vollständige Beweise für das quadratische Reziprozitätsgesetz. Er entwickelte Legendres Theorie der quadratischen Formen weiter und baute sie zu einer vollständigen Theorie aus. Er schuf die Arithmetik der quadratischen Zahlkörper, wobei er allerdings in den Begriffsbildungen der quadratischen Formen verwurzelt blieb. Auf diese Weise fand er das Zerlegungsgesetz der Primzahlen in , den gaußschen Zahlen. Ebenso untersuchte er zuerst die Kreisteilungskörper, d. h. die Lösungen der Gleichung x^p-1 = 1 und entwickelte den Kalkül der Gaußschen Summen, welcher bis heute große Bedeutung hat. Er entdeckte außerdem den gaußschen Primzahlsatz, konnte ihn allerdings nicht beweisen. Insgesamt kann man sagen, dass die Zahlentheorie erst durch Gauß eine selbständige und systematisch geordnete Disziplin geworden ist.

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