Zahlentheorie

Historische Entwicklung

Das neunzehnte Jahrhundert

Vor allem das neunzehnte Jahrhundert ist eine Blütezeit der analytischen Zahlentheorie. Unter Niels Henrik Abel (1802–1829), Carl Gustav Jacobi (1804–1851), Gotthold Eisenstein (1823–1852) und Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) wird die Theorie der elliptischen Funktionen entwickelt, die schließlich die Theorie der elliptischen Kurven auf ein völlig neues Fundament stellt. Dirichlet erfindet den Begriff der L-Reihe und beweist damit den Primzahlsatz in arithmetischen Progressionen. Dirichlet und Eisenstein verwenden die Theorie der Modulformen, um die Anzahl der Darstellungen einer Zahl als Summe von vier bzw. fünf Quadraten zu untersuchen. Der Einheitensatz von Dirichlet (der sich auch auf rein algebraischem Gebiet hervorgetan hat), ist heute einer der Grundpfeiler der algebraischen Zahlentheorie.Bernhard Riemann (1826–1866) entdeckte und bewies die Funktionalgleichung der Riemannschen Zeta-Funktion und stellte tiefgreifende Vermutungen auf, die analytische Eigenschaften dieser Funktion mit der Arithmetik in Verbindung brachten.

Für die gesamte Mathematik sehr bedeutsam war das kurze Wirken von Évariste Galois (1811–1832), der die Galoistheorie entwickelte und damit viele alte Fragen, wie die Quadratur des Kreises, die Konstruktion von n-Ecken mittels Zirkel und Lineal und die Auflösbarkeit von Polynomgleichungen durch Wurzelausdrücke klärte. Die Galoistheorie spielt heute in der Zahlentheorie eine exponierte Rolle.

In der algebraischen Schule des neunzehnten Jahrhunderts sind vor allem Ernst Eduard Kummer (1810–1893), Leopold Kronecker (1823–1891) und Richard Dedekind (1831–1916) zu nennen. Diese begründeten zusammen die Eckpfeiler der modernen strukturellen Auffassung der Algebra, insbesondere die Theorie der Gruppen, Ringe und Ideale, sowie der algebraischen Zahlkörper. Kronecker führte den Begriff eines Divisors ein und entdeckte den heute Satz von Kronecker-Weber genannten Satz, wonach jede abelsche Erweiterung des rationalen Zahlkörpers in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Kummer bewies den großen Satz von Fermat für alle regulären Primzahlen, und Dedekind zeigte die Existenz von Ganzheitsbasen in Zahlkörpern.

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