Wahrscheinlichkeitstheorie

Maßtheoretische Sichtweise

Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable ist aus maßtheoretischer Sicht eine messbare Funktion X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen Messraum bestehend aus einer Menge und einer σ-Algebra auf . Messbarkeit bedeutet dabei, dass für alle das Urbild X^-1 (A') ein Element der σ-Algebra ist. Die Verteilung von X ist dann nichts anderes als das Bildmaß

,

das von X auf dem Messraum induziert wird und diesen zu einem Wahrscheinlichkeitsraum macht.

Der Erwartungswert einer reellwertigen Zufallsvariable X mittelt die möglichen Ergebnisse. Er lässt sich abstrakt definieren als Integral von X bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes P:

.

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