Wahrscheinlichkeitstheorie

Maßtheoretische Sichtweise

Die klassische Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet nur Wahrscheinlichkeiten auf diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen und stetige Modelle mit Dichtefunktionen. Diese beiden Ansätze lassen sich durch die moderne Formulierung der Wahrscheinlichkeitstheorie, die auf den Konzepten und Ergebnissen der Maß- und Integrationstheorie beruht, vereinheitlichen und verallgemeinern.

Wahrscheinlichkeitsräume

In dieser Sichtweise ist ein Wahrscheinlichkeitsraum ein Maßraum mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß P. Das bedeutet, die Ergebnismenge ist eine beliebige Menge, der Ereignisraum ist eine σ-Algebra mit Grundmenge und ist ein Maß, das durch normiert ist.

Wichtige Standardfälle von Wahrscheinlichkeitsräumen sind:

• ist eine abzählbare Menge und ist die Potenzmenge von . Dann ist jedes Wahrscheinlichkeitsmaß P eindeutig festgelegt durch seine Werte auf den einelementigen Teilmengen von und für alle gilt

.

• ist eine Teilmenge von und ist die Borelsche σ-Algebra auf . Ist das Wahrscheinlichkeitsmaß P absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes, dann besitzt P nach dem Satz von Radon-Nikodym eine Lebesgue-Dichte f, d. h. für alle gilt

.

Umgekehrt wird für eine nichtnegative messbare Funktion f, welche die Normierungsbedingung erfüllt, durch diese Formel ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf definiert.

• ist ein kartesisches Produkt und ist die Produkt-σ-Algebra von σ-Algebren auf . Sind Wahrscheinlichkeitsmaße P_i auf gegeben, dann wird durch das Produktmaß ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf definiert, das die unabhängige Hintereinanderausführung der Einzelexperimente modelliert.

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