Wahrscheinlichkeitstheorie

Axiomatischer Aufbau

Folgerungen

Aus den Axiomen ergeben sich unmittelbar einige Folgerungen:

1. Aus der Additivität der Wahrscheinlichkeit disjunkter Ereignisse folgt, dass komplementäre Ereignisse (Gegenereignisse) komplementäre Wahrscheinlichkeiten (Gegenwahrscheinlichkeiten) haben: .

Beweis: Es ist sowie . Folglich nach Axiom (3): und dann nach Axiom (2): . Umgestellt ergibt sich: .

2. Daraus folgt, dass das unmögliche Ereignis, die leere Menge, die Wahrscheinlichkeit Null hat: .

Beweis: Es ist und , also nach Axiom (3): . Hieraus folgt .

3. Für die Vereinigung nicht notwendig disjunkter Ereignisse folgt: .

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Beweis: Die für den Beweis erforderlichen Mengen sind im obigen Bild dargestellt. Die Menge kann danach als Vereinigung von drei disjunkten Mengen dargestellt werden:

Hieraus folgt nach (3): .

Andererseits ist nach (3) sowohl

als auch

.

Addition liefert:

.

Umstellen ergibt .

Die Siebformel von Poincaré-Sylvester verallgemeinert diese Behauptung im Falle n verschiedener (nicht notwendig disjunkter) Teilmengen.

Im weiteren ist zwischen abzählbaren und überabzählbaren Ergebnismengen zu unterscheiden.

Abzählbare Ergebnismenge

Bei einer abzählbaren Ergebnismenge kann jedem Elementarereignis eine positive Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden. Wenn endlich oder abzählbar unendlich ist, kann man für die σ-Algebra die Potenzmenge von wählen.Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse aus ist hier 1.

Überabzählbare Ergebnismenge

Die Wahrscheinlichkeit, mit einer als punktförmig angenommenen Dartspitze einen bestimmten Punkt auf einer Scheibe zu treffen, ist null. Eine sinnvolle mathematische Theorie kann man nur auf der Wahrscheinlichkeit aufbauen, bestimmte Gebiete zu treffen. Wenn man diese Gebiete wiederum als infinitesimal annimmt, gelangt man zum Begriff der Wahrscheinlichkeitsdichte.

Ein Prototyp einer überabzählbaren Ergebnismenge ist die Menge der reellen Zahlen.In vielen Modellen ist es nicht möglich, allen Teilmengen der reellen Zahlen sinnvoll eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Als Ereignissystem wählt man statt der Potenzmenge der reellen Zahlen hier meist die Borelsche σ-Algebra, das ist die kleinste σ-Algebra, die alle Intervalle von reellen Zahlen als Elemente enthält. Die Elemente dieser σ-Algebra nennt man Borelsche Mengen oder auch (Borel)-messbar. Wenn die Wahrscheinlichkeit P(A) jeder Borelschen Menge A als Integral

über eine Wahrscheinlichkeitsdichte f geschrieben werden kann, wird Pabsolut stetig genannt. In diesem Fall (aber nicht nur in diesem) haben alle Elementarereignisse {x} die Wahrscheinlichkeit 0. Die Wahrscheinlichkeitsdichte einesabsolut stetigen Wahrscheinlichkeitsmaßes P ist nur fast überall eindeutig bestimmt, d. h. sie kann auf einer beliebigen Lebesgue-Nullmenge, also einer Menge vom Lebesgue-Maß 0, abgeändert werden, ohne dass P verändert wird. Wenn die erste Ableitung der Verteilungsfunktion von P existiert, so ist sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte von P. Die Werte der Wahrscheinlichkeitsdichte werden jedoch nicht als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

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