Wahrscheinlichkeitstheorie

Axiomatischer Aufbau

Definitionen

Konzeptionell wird als Grundlage der mathematischen Betrachtung von einem Zufallsvorgang oder Zufallsexperiment ausgegangen. Alle möglichen Ergebnisse dieses Zufallsvorgangs fasst man in der Ergebnismenge zusammen. Häufig interessiert man sich jedoch gar nicht für das genaue Ergebnis , sondern nur dafür ob es in einer bestimmten Teilmenge der Ergebnismenge liegt oder nicht, was so interpretiert werden kann, dass ein Ereignis eingetreten ist oder nicht. Ein Ereignis ist also als eine Teilmenge von definiert. Umfasst das Ereignis genau ein Element der Ergebnismenge, handelt es sich um ein Elementarereignis. Zusammengesetzte Ereignisse enthalten mehrere Ergebnisse. Das Ergebnis ist also ein Element der Ergebnismenge, das Ereignis jedoch eine Teilmenge, wobei diese Unterscheidung häufig vernachlässigt wird.

Damit man den Ereignissen in sinnvoller Weise Wahrscheinlichkeiten zuordnen kann, werden sie in einem Mengensystem aufgeführt, der Ereignisalgebra oder dem Ereignisraum über , einer Menge von Teilmengen von , für die gilt: Sie enthält und ist ein -Körper, d.h. sie ist gegenüber den Mengenoperationen der Vereinigung und der Komplementbildung (relativ bzgl. ) abgeschlossen genauso wie gegenüber der unendlichen Vereinigung abzählbar vieler Mengen. Die Wahrscheinlichkeiten sind dann Bilder einer gewissen Abbildung P des Ereignisraums in das Intervall [0,1]. Solch eine Abbildung heißt Wahrscheinlichkeitsmaß. Das Tripel wird als Wahrscheinlichkeitsraum bezeichnet.

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