Wahrscheinlichkeitstheorie

Axiomatischer Aufbau

Axiome von Kolmogorow

Die axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde in den 1930er Jahren von Andrei Kolmogorow entwickelt. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß muss demnach die folgenden drei Axiome erfüllen:

1. Für jedes Ereignis A aus ist die Wahrscheinlichkeit von A eine reelle Zahl zwischen 0 und 1: .
2. Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1: .
3. Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung abzählbar vieler inkompatibler Ereignisse entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Dabei heißen Ereignisse A_i inkompatibel, wenn sie paarweise disjunkt sind, also für alle gilt; es muss also gelten: . Diese Eigenschaft wird auch σ-Additivität genannt.

Beispiel: Im Rahmen einer physikalischen Modellbildung wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß zur Beschreibung des Ergebnisses eines Münzwurfes angesetzt, die möglichen Ergebnisse (Ereignisse genannt) mögen Zahl oder Adler lauten.

• Dann ist die Ergebnismenge .
• Als Ereignisraum kann die Potenzmenge gewählt werden, also .
• Für das Wahrscheinlichkeitsmaß P steht aufgrund der Axiome fest:
• 
• P({Zahl}) = 1 - P({Adler})
• 

Ergebnismenge und Teilmengen bei einem (nicht idealen) Münzwurf

Zusätzliche physikalische Annahmen über die Beschaffenheit der Münze können nun etwa zur Wahl P({Adler}) = P({Zahl}) = 0, 5 führen.

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