Vorkonditionierung

Lineare Vorkonditionierung

Hier unterscheidet man zwischen Linksvorkonditionierung, bei der das Gleichungssystem Ax = b von links mit einer regulären Matrix multipliziert wird: MAx = Mb und Rechtsvorkonditionierung, bei der das Gleichungssystem AMy = b mit y = M^-1 x gelöst wird. Der Vorkonditionierer sollte die Inverse von A mit geringstmöglichem Aufwand bestmöglich approximieren. Prinzipiell ist jedes iterative Gleichungslösungsverfahren wie das Jacobi- oder das Gauß-Seidel-Verfahren als Vorkonditionierer einsetzbar, dabei ist die Matrix für die Präkonditionierung die als B bezeichnete Matrix im Artikel Splitting-Verfahren.

Im Kontext von Krylow-Unterraum-Verfahren wie dem CG-Verfahren ist es günstig, wenn die Systemmatrix eine geringe Kondition, bzw. insbesondere eine "gute" Eigenwertverteilung hat. Hier ist die Hauptanwendung von Vorkonditionierern zu finden, da die Konvergenzgeschwindigkeit von Krylow-Unterraum-Verfahren so maßgeblich verbessert werden kann.

Neben den schon oben genannten iterativen Verfahren sind unvollständige LU-Zerlegungen, genannt ILU-Zerlegungen, von besonderem Interesse. Diese berechnen mittels des Gauß-Algorithmus eine fehlerbehaftete Zerlegung der Systemmatrix A, bei der nur festgelegte Elemente berechnet werden, um Zeit und Speicher zu sparen.

Seit den 1990er Jahren gewinnen Multilevel-Verfahren wie algebraische Mehrgitterverfahren immer mehr an Bedeutung.

Ein einfaches Beispiel ist die Äquilibrierung, also die Skalierung der Zeilen oder Spalten des Gleichungssystems mit individuellen Faktoren, so dass alle Spalten oder Zeilen der Matrix anschließend die gleiche Spalten- oder Zeilensummennorm besitzen.

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert auf dem Artikel Vorkonditionierung aus der freien Enzyklοpädιe Wιkιpedιa und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Liste der Autoren

Anbieterkennzeichnung