Vollständiger Raum

Ein vollständiger Raum ist in der Analysis ein metrischer Raum M, in dem jede Cauchy-Folge von Punkten aus M konvergiert.

Zum Beispiel ist der Raum der rationalen Zahlen nicht vollständig, weil etwa die Zahl nicht rational ist, es jedoch Folgen rationaler Zahlen gibt, die gegen konvergieren. Es ist aber stets möglich, die Löcher auszufüllen, also einen unvollständigen metrischen Raum zu vervollständigen. Im Fall der rationalen Zahlen erhält man dadurch die reellen Zahlen.Die Möglichkeit der Vervollständigung vor Augen, fordert man oftmals in der Definition der Vollständigkeit, dass jede Cauchyfolge gegen einen Punkt "in M" konvergiere. Der Zusatz "in M" ist nicht notwendig, da für Folgen in M schon gemäß der Definition der Konvergenz nur Punkte aus M als Grenzwerte in Frage kommen.

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert auf dem Artikel Vollständiger Raum aus der freien Enzyklοpädιe Wιkιpedιa und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Liste der Autoren

Anbieterkennzeichnung