Vollständige Induktion

Induktionsvarianten

Ein Induktionsbeweis ist auch für Aussagen über alle ganzen Zahlen (positiv und negativ) möglich. Man beginnt dazu mit einem beliebigen Induktionsanfang, beweist den positiven Induktionsschritt von n nach n+1 und anschließend den Induktionsschritt in negativer Richtung von n nach n−1. Beim Induktionsanfang 0 kann man den zweiten Induktionsschritt auch von n nach −n zeigen.

Cauchy führte 1821 eine Induktionsvariante ein, bei der der vorwärts gerichtete Induktionsschritt Sprünge macht (etwa von n nach 2n) und die entstehenden Lücken anschließend durch einen rückwärts gerichteten Induktionsschritt von n nach n−1 gefüllt werden.

Die vollständige Induktion ist von natürlichen Zahlen verallgemeinerbar auf Ordinalzahlen. Bei Ordinalzahlen, die mächtiger als die natürlichen Zahlen sind, spricht man dann von transfiniter Induktion.

Die Induktion ist auch übertragbar auf sogenannte fundierte Mengen, die eine der Zahlenordnung vergleichbare Ordnungstruktur aufweisen; hier spricht man zuweilen von struktureller Induktion.

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