Vollständige Induktion

Herleitung

Die vollständige Induktion kann aus Axiomen für die natürlichen Zahlen hergeleitet werden. Am bekanntesten ist die Ableitung aus dem fünften Peano-Axiom, dem sogenannten Induktionsaxiom, das folgendermaßen lautet: Ist 0 ein Element von K und ist mit n aus K stets auch n + 1 aus K, dann ist eine Teilmenge von K. Wählt man in diesem Axiom für K die Menge aller natürlicher Zahlen n, die die Aussage A(n) erfüllen, so ergibt sich die vollständige Induktion mit Induktionsanfang A(0).

Auch in anderen Konzepten der natürlichen Zahlen sind die Peano-Axiome und damit auch das Beweisverfahren der vollständigen Induktion herleitbar, zum Beispiel bei der Definition der natürlichen Zahlen

• als von 1 erzeugte geordnete Halbgruppe, die der zitierten pythagoreischen Zahlendefinition entspricht
• als frei von 1 erzeugtes Monoid, das von der Addition der Zahlen ausgeht
• als Algebra mit Nachfolger-Abbildung, die Dedekinds Zahlendefinition entspricht
• als kleinste induktive Menge, nämlich als kleinste Menge, die das Unendlichkeitsaxiom erfüllt, wie es in der Mengenlehre üblich ist
• als Klasse der endlichen Ordinalzahlen, die nur eine allgemeine Mengenlehre ohne Unendlichkeitsaxiom voraussetzt

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