Vollständige Induktion

Beispiele

Peano bewies 1889 mit vollständiger Induktion die grundlegenden Rechenregeln für die Addition und Multiplikation: das Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und Distributivgesetz.

Summe ungerader Zahlen (Maurolicus 1575)

Die schrittweise Berechnung der Summe der ersten n ungeraden Zahlen legt die Vermutung nahe: Die Summe aller ungeraden Zahlen von 1 bis 2n-1 ist gleich dem Quadrat von n:

1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

Der allgemeine Satz lautet: . Ihn bewies Maurolicus 1575 mit vollständiger Induktion. Ein Beweis mit heute geläufigen Rechenregeln liest sich folgendermaßen:

Der Induktionsanfang gilt wegen . Beim Induktionsschritt ist zu zeigen: Wenn , dann . Er ergibt sich über folgende Gleichungskette, bei der in der zweiten Umformung die Induktionsvoraussetzung angewandt wird:

.

Gaußsche Summenformel

Die Gaußsche Summenformel lautet: Für alle natürliche Zahlen gilt

Der Induktionsanfang ergibt sich unmittelbar:

Der Induktionsschritt wird über folgende Gleichungskette gewonnen, bei der die Induktionsvoraussetzung bei der zweiten Umformung verwendet wird:

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