Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

   - Gleichungen

   - Gruppen

   - Ringe und Körper

   - Algebren

   - Polynome

   - Verbandstheorie

      - Teilweise geordnete Mengen

      - Verbände

          Mengenverbände

          Algebraische

          Kennzeichnung

- Lineare Algebra

- Geometrie

- Analysis

- Differentialgleichungen

- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

- Numerik

- Stochastik

- Unsortiertes

- Anbieterkennzeichnung

Verbände

Sei M eine teilweise geordnete Menge mit der Ordnung . M heißt verbandsgeordnete Menge oder Verband, wenn folgende Eigenschaften gelten:

1. Zu je zwei Elementen existiert das Infimum inf(a, b)
2. Zu je zwei Elementen existiert das Supremum sup(a, b)

Damit besitzen dann auch endliche Teilmengen von M Infimum und Supremum (Beweis durch vollständige Induktion).

Ist M selbst endlich, so besitzt M sowohl ein Minimum, das Ordnungsnull heißt, als auch ein Maximum, welches Ordnungseins genannt wird.

Jede kettengeordnete Menge ist ein Verband. Für jede zweielementige Teilmenge existieren dann Minimum und Maximum und sind mit dem Infimum und Supremum identische.

Beispiele

Das nebenstehende Hassediagramm veranschaulicht einen Verband (ohne hellrote Linie). Es gilt d = sup(a, b) und a = inf(c, d).

Nimmt man die hellrote Linie hinzu, so ist die Verbandsstruktur zerstört, da sowohl c als auch d obere Schranken von a und b sind. Wegen ihrer Unvergleichbarkeit existiert jedoch d = sup(a, b) nicht.

Algebraische Schreibweise

Um Gesetze mit Supremum und Infimum ohne tiefe Klammerung formulieren zu können, werden in Verbänden die Symbole für Supremum und für Infimum verwendet. Wir definieren:

Es gibt jedoch noch einen anderen Grund für die hohe Wertschätzung der Mathematik; sie allein bietet den Naturwissenschaften ein gewisses Maß an Sicherheit, das ohne Mathematik nicht erreichbar wäre.

Albert Einstein

Druckansicht     

Amazon.de empfiehlt:

Einführung in die Verbandstheorie

Hans Hermes

Struktur und Funktionen der Handwerksorganisation in Deutsch...

Valentin Chesi

Einhundert Jahre Verbandstheorie im Privatrecht: Jg. 5 (1987...

Karsten Schmidt

Einführung in die Verbandstheorie

Gábor Szász

Einführung in die Verbandstheorie (Grundlehren der mathemati...

Hans Hermes

Einführung in die Verbandstheorie

Hans Hermes

Bücher zum Thema verbandstheorie auf
• bol.de
• buch.de
• buecher.de
• libri.de