Verallgemeinerte Kettenregel

Ein additives Beispiel mittels Substitution

Die Frage wie man die Ableitung von f(x) = x^x bestimmt, wird meist mit einem bekannten „Trick“ beantwortet, dies als e^{xlog x} zu schreiben und dann mittels Produkt- und Kettenregel auszuwerten. Es ergibt .

Eine weniger trickreiche, unmotivierte oder spezielle Methode zur Lösung, ist die folgende mit Hilfe der verallgemeinerten Kettenregel:

Sei g(x, y) = x^y . Dann ist und .

Mit f(x) = g(h₁ (x), h₂ (x)), wobei h₁ (x) = x, h₂ (x) = x erhält man

.

In Worten:

1. Man leitet x^x 'nach dem x in der Basis ab', wobei man das x im Exponenten wie eine Konstante betrachtet,

2. man leitet x^x 'nach dem x im Exponenten ab', wobei man das x in der Basis wie eine Konstante betrachtet,

3. man addiert die Ergebnisse.

Der "Trick" hierbei ist, dass man x in der Basis und x im Exponenten, obwohl sie gleichlauten, unterscheidet.

Es ist eine Folgerung aus der verallgemeinerten Kettenregel, dass diese erstaunlich einfache Prozedur korrekt ist.

Diese Herleitung enthält mehr Einsicht, warum das Ergebnis so ist, wie es ist, als der "Trick" mit der Exponentialfunktion. Außerdem ist diese Herleitung allgemeiner anwendbar, z.B. liefert sie ganz einfach auch die Leibnizregel für Parameterintegrale.

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert auf dem Artikel Verallgemeinerte Kettenregel aus der freien Enzyklοpädιe Wιkιpedιa und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Liste der Autoren

Anbieterkennzeichnung