Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

- Lineare Algebra

   - Vektorräume

       Beispiele

       Lineare Abhängigkeit

      - Unterräume

      - Erzeugendensysteme und

       Basis

      - Lineare Abbildungen

       Klassifikationssatz

       Dimensionsformel

       Dualräume

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   - Matrizen

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   - Determinanten

   - Eigenwerte

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- Analysis

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- Differentialgeometrie

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Vektorräume

Ein Vektorraum V über einen Körper K ist eine nichtleere Menge zusammen mit zwei Operationen

+ : (Addition)

: (skalare Multiplikation)

Für diese Operationen sollen die folgenden Axiome gelten:

A1: V bildet zusammen mit + eine abelsche Gruppe.

A2: Für beliebige , und gilt:

a)

b)

c)

d) 1v = v (1 ist das Einselement aus K)

Die Elemente von V werden als Vektoren bezeichnet; das neutrale Element der additiven Gruppe heißt Nullvektor.

Den Punkt lässt man größtenteils weg. Auch ergibt sich in der Regel aus dem Zusammenhang, welche Addition oder Multiplikation (im Vektorraum V oder im Körper K) gemeint ist.

In der obigen Definition wurde nicht benutzt, dass K ein Körper ist, es reicht im Allgemeinen auch ein kommutativer Ring mit Einselement. Man sollte dann aber "vorsichtig" mit der skalaren Multiplikation sein und berücksichtigen, dass man nicht notwendigerweise dividieren darf.

Für das inverse Element der Vektoraddition schreiben wir - v.

Satz 15X3 (Rechenregeln in Vektorräumen)

In einem Vektorraum V über einem Körper K gilt:

1. 0v = 0     
2.     
3. (-1)v = -v
4. und gilt: Aus folgt oder v = 0.

Beweis

(i) 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v. Addiert man beide Seiten mit -0v, ergibt sich die Behauptung.

(ii) . Und nach Addition von erhalten wir die Behauptung.

(iii) Nach (i) ist 0 = 0v = ( + 1-1)v = (-1)v + 1v = (-1)v + v, woraus die Behauptung folgt.

(iv) indirekt: Sei und und . Dann existiert und es ist im Widerspruch zu .

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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