Vektoranalysis

Inverse Integraloperatoren

Zu den oben vorgestellten Differentialoperatoren existieren auch die inversen Integraloperatoren. Sie wurden erstmalig von dem deutschen Autor Adolf Schwab in seinem Buch "Begriffswelt der Feldtheorie" (Springer-Verlag, 1. Aufl. 1985) ohne große Betonung ihres innovativen Charakters verwendet und in der 2. Auflage (1987) näher definiert. Seither werden diese inversen Operatoren kontrovers diskutiert. Nach Erscheinen der mathematisch strengen Rechtfertigung ihrer Existenz durch den deutschen Mathematiker Manfred Schneider ist ein Trend zu ihrer allgemeinen Akzeptanz festzustellen. Sie ermöglichen unter anderem in der Elektrodynamik in Kombinationen mit den Greenschen Funktionskernen oft transparantere und elegantere Lösungswege. Sie bedürfen analog zu den Differentialoperatoren im konkreten Einzelfall der Anpassung der Integration in einem entsprechenden Koordinatensystem.

• Integraloperator : Der Definitionsbereich des Operators ist die Menge aller Quellendichten div F = y(r). Sein Wertebereich umfasst die Menge aller Vektorfelder mit verschwindender Wirbelfeldkomponente. Beispielsweise angewandt auf die Quellendichte eines elektrischen Quellenfelds liefert der Operator div^-1 unmittelbar das zugehörige Quellenfeld.

FormelGen :$ \begin{alignat}{2} div\ \vec D & =\rho \ \ \ \vert \cdot \operatorname{div}^{-1}\\ \operatorname{div}^{-1} div\ \vec D & = \operatorname{div}^{-1} \rho = grad\ \Delta^{-1} \rho\\ \vec D & = grad\ \Delta^{-1} \rho \end{alignat} $: Index was outside the bounds of the array.

Wegen Bedeutung des inversen Laplace Operators wird auf das Schrifttum verwiesen (M.Schneider "Über die Verwendung der Operatoren div-1, rot-1, grad-1 in der Feldtheorie", A.Schwab "Begriffswelt der Feldtheorie").

• Integraloperator : Der Definitionsbereich des Operators ist die Menge aller Wirbeldichten rot F = Y. Sein Wertebereich umfasst die Menge aller Vektorfelder mit verschwindender Quellenfeldkomponente. Angewandt auf die Wirbeldichte liefert der Operator rot^-1 unmittelbar das zugehörige Wirbelfeld.

FormelGen :$ \begin{alignat}{2} rot\ \vec E & = - \frac{dB}{dt} \ \ \ \vert \cdot \operatorname{rot}^{-1}\\ \operatorname{rot}^{-1} rot\ \vec E & = \operatorname{rot}^{-1} \left( - \frac{dB}{dt} \right) = -rot\ \Delta^{-1} \left( - \frac{dB}{dt} \right)\\ \vec E & = -rot\ \Delta^{-1} \left( - \frac{dB}{dt} \right) \end{alignat} $: Index was outside the bounds of the array.

Wegen Bedeutung des inversen Laplace Operators wird auf das Schrifttum verwiesen.

• Integraloperator : Der Definitionsbereich des Operators ist die Menge aller Gradientenfelder . Sein Wertebereich umfasst die Menge aller Potentialfelder mit verschwindendem ortsunabhängigen Anteil . Lässt man alle Potentialfelder zu, besitzt grad^-1 die Eigenschaft eines unbestimmten Integrals mit der dabei auftretenden Integrationskonstante .

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