Vektoranalysis

Fundamentalzerlegung

Der Fundamentalsatz der Vektoranalysis, auch Helmholtzscher Zerlegungssatz genannt, beschreibt den allgemeinen Fall. Er sagt aus, dass sich jedes Vektorfeld F als eine Überlagerung eines Quellenanteils F_Q und eines Wirbelanteils F_W beschreiben lässt. Ersterer ist der negative Gradient einer Superposition von skalaren Coulomb-artigen Potentialen, bestimmt durch die Quellendichte als formale „Ladungsdichte“ , wie bei statischen elektrischen Feldern; letzterer ist die Rotation eines Vektorpotentials, wie beim Biot-Savart’schen Gesetz der Magnetostatik, bestimmt durch die Wirbeldichte als formale „Stromdichte“ j ^' := rot'F(r ^' ) :

Man kann die Gültigkeit einer solchen Zerlegung anschaulich am Verlauf eines Baches verfolgen: An Stellen mit großem Gefälle und bei geradlinigem Verlauf wird die Strömung durch den Gradientenanteil dominiert, während an flachen Stellen, besonders, wenn der Bach um eine „Ecke“ oder eine kleine Insel herumströmt, der Wirbelanteil vorherrscht.

Und zwar gilt, wenn die Komponenten des Vektors F überall zweimal stetig-differenzierbar sind (andernfalls muss man an den Grenzflächen Volumenintegrale durch Flächenintegrale ersetzen) und im Unendlichen hinreichend rasch verschwinden, die folgende Formel, die genau der erwähnten Kombination aus der Elektrodynamik entspricht und alle angesprochenen Operatoren enthält:

Ein allgemeines Vektorfeld ist bezüglich seiner physikalischen Bedeutung daher nur dann eindeutig spezifiziert, wenn sowohl Aussagen über die Quellen- als auch Wirbeldichten und ggf. die notwendigen Randwerte vorliegen.

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