Vektoranalysis

Die drei kovarianten Differentialoperatoren

Drei Rechenoperationen sind in der Vektoranalysis von besonderer Bedeutung, weil sie Felder produzieren, die sich bei räumlicher Drehung des ursprünglichen Feldes mitdrehen. Operativ formuliert: Bei Gradient, Rotation und Divergenz ist es egal, ob sie vor oder nach einer Drehung angewendet werden. Diese Eigenschaft folgt aus den koordinatenunabhängigen Definitionen (siehe jeweilige Hauptartikel) und ist nicht selbstverständlich. Z.B. wird aus einer partiellen Ableitung nach x unter 90-Grad-Drehung eine partielle Ableitung nach y.Im folgenden ist der Operator der partiellen Ableitung und der Nabla-Operator.

• Gradient eines Skalarfeldes: Gibt die Richtung und Stärke des steilsten Anstiegs eines Skalarfeldes an. Der Gradient eines Skalarfeldes ist ein Vektorfeld.

• Divergenz eines Vektorfeldes: Gibt die Tendenz eines Vektorfeldes an, von Punkten wegzufließen (das gilt für positives Vorzeichen; bei negativem Vorzeichen handelt es sich dementsprechend um die Tendenz zu den Punkten hinzufließen). Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld. Und zwar folgt aus dem Gauß’schen Integralsatz (siehe unten), dass die Divergenz die lokale Quellendichte eines Vektorfeldes beschreibt.

Die beiden genannten Definitionen, grad und div, können leicht von 3 auf n Dimensionen verallgemeinert werden. Bei der im Folgenden behandelten Rotation ist das dagegen nicht möglich, weil die Zahl der linear unabhängigen Komponenten

die in der Definition vorkommen, zu groß würde. Aber für n = 3 kann man definieren:

• Rotation eines Vektorfeldes: Gibt die Tendenz eines Vektorfeldes an, um Punkte zu rotieren; die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Vektorfeld von Pseudovektoren. Und zwar folgt aus dem Stokes’schen Integralsatz (siehe unten), dass die Rotation die lokale Wirbeldichte eines Vektorfeldes beschreibt.

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