Variationsrechnung

Bemerkungen

Bei der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichung wurde benutzt, dass eine stetige Funktion ,die für alle mindestens zweimal stetig differenzierbaren Funktionen t₀ = 1 mit bei Integration über

den Wert null ergibt, identisch gleich null sein muss.

Das ist leicht einzusehen, wenn man berücksichtigt, dass es zum Beispiel mit

b

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion gibt, die in einer b(t_a ) = b(t_e ) = 0-Umgebung eines willkürlich herausgegriffenen Zeitpunktes positiv und ansonsten null ist. Gäbe es eine Stelle , an der die Funktion größer oder kleiner null wäre, so wäre sie aufgrund der Stetigkeit auch noch in einer ganzen Umgebung dieser Stelle größer bzw. kleiner null. Mit der eben definierten Funktion t₀ ist dann jedoch das Integrala im Widerspruch zur Voraussetzung an ebenfalls größer bzw. kleiner null.Die Annahme, dass b an einer Stelle ungleich null wäre, ist also falsch. Die Funktion a ist also wirklich identisch gleich null.

Ist der Funktionenraum a ein affiner Raum, so wird die Familie t₀ in der Literatur oftmals als Summeamit einer frei wählbaren Zeitfunktion X festgelegt, die der Bedingung genügen muss.Die Ableitung ist dann gerade die Gateaux-Ableitung h des Funktionals h(t_a ) = h(t_e ) = 0 an der Stelle in Richtung .Die hier vorgestellte Version erscheint dem Autor etwas günstiger, wenn die Funktionenmenge I kein affiner Raum mehr ist (wenn sie beispielsweise durch eine nichtlineare Nebenbedingung eingeschränkt ist; siehe etwa gaußsches Prinzip des kleinsten Zwanges). Sie ist ausführlicher in [1] dargestellt und lehnt sich an die Definition von Tangentialvektoren an Mannigfaltigkeiten an (siehe auch [2]).

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert auf dem Artikel Variationsrechnung aus der freien Enzyklοpädιe Wιkιpedιa und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Liste der Autoren

Anbieterkennzeichnung