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Inhalt

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Varianz

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Zwei Normalverteilungen mit unterschiedlichen Varianzen. Die orange Kurve hat eine geringere Varianz (entsprechend der Breite) als die grüne. Die Wurzel der Varianz, die Standardabweichung, kann an den Wendepunkten ersehen werden.

Die Varianz ist in der Statistik ein Streuungsmaß, d.h. ein Maß für die Abweichung einer Zufallsvariable X von ihrem Erwartungswert E(X). Die Varianz verallgemeinert das Konzept der Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert in einer Beobachtungsreihe. Die Varianz der Zufallsvariable X wird üblicherweise als V(X), Var(X) oder notiert. Ihr Nachteil für die Praxis ist, dass sie eine andere Einheit als die Daten besitzt. Dieser Nachteil kann behoben werden, indem man von der Varianz zu deren Quadratwurzel, der Standardabweichung übergeht.

In der Praxis ist die Varianz der Grundgesamtheit häufig nicht bekannt. Sie muss dann mit einem Varianzschätzer, meist mit der Stichprobenvarianz geschätzt werden.

Siehe auch: Varianzanalyse

Definition

Wenn der Erwartungswert der quadratisch integrierbaren Zufallsvariablen X ist, dann berechnet sich die Varianz sowohl für diskrete, wie auch stetige Zufallsvariablen zu

Die Varianz ist also das zweite zentrale Moment einer Zufallsvariablen.

Die Varianz ist der Durchschnitt der Abweichungsquadrate vom Durchschnitt eines statistischen Merkmals.

Die Varianz steht in enger Relation zur Standardabweichung:

bzw.

Rechenregeln

Verschiebungssatz

Lineare Transformation

Var(aX + b) = a² Var(X)

dies kann mittels des Verschiebungssatzes hergeleitet werden:

Var(aX + b) = E[(aX + b - E(aX + b))² ] = E[(aX + b - b - aE(X))² ] = E[a² (X - E(X))² ] = a² E[(X - E(X))² ] = a² Var(X)

Varianz von Summen von Zufallsvariablen

Charakteristische Funktion

Die Varianz lässt sich mit dem Verschiebungssatz und der charakteristischen Funktion der Zufallsvariablen X darstellen als:

Beispiele

Diskrete Zufallsvariable

Gegeben ist eine diskrete Zufallsvariable X mit den Wahrscheinlichkeiten

i	1	2	3
x_i	-1	1	2
f(x_i )	0,5	0,3	0,2

wobei der Erwartungswert

beträgt. Mit dem Verschiebungssatz erhält man entsprechend

Stetige Zufallsvariable

Eine stetige Zufallsvariable habe die Dichtefunktion

Mit dem Erwartungswert

berechnet sich die Varianz mit Hilfe des Verschiebungssatzes als

V(X)

Siehe auch

Variationskoeffizient, Kovarianz, Moment, Momenterzeugende Funktion, Charakteristische Funktion (Stochastik), Bestimmtheitsmaß, Normalverteilung

Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

Albert Einstein

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