Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

- Lineare Algebra

   - Vektorräume

       Beispiele

       Lineare Abhängigkeit

      - Unterräume

          Lineare Hülle

          Summe von Teilräumen

          Direkte Summe

      - Erzeugendensysteme und

       Basis

      - Lineare Abbildungen

       Klassifikationssatz

       Dimensionsformel

       Dualräume

       Konvexe Mengen

       Quotientenvektorräume

   - Matrizen

   - Lineare Gleichungssysteme

   - Determinanten

   - Eigenwerte

- Geometrie

- Analysis

- Differentialgleichungen

- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

- Numerik

- Stochastik

- Unsortiertes

- Anbieterkennzeichnung

Unterräume von Vektorräumen

Eine nichtleere Teilmenge eines Vektorraums V ist ein Untervektorraum oder einfach Unterraum oder (linearer) Teilraum, wenn U selbst wieder ein Vektorraum ist.

Konkret bedeutet es, dass

1. Für ist
2. Für und gilt

Beispiele

Für einen Vektorraum V sind der nur aus dem Nullvektor {0} bestehende Raum und V selbst Untervektorräume.

Ursprungsgeraden im

Die Mengen der Punkte für vorgegebene reelle Zahlen a und b bilden Geraden durch den Ursprung. Diese sind Teilräume des .

Es ist , da .

Seien und . Dann gilt ax₁ + by₁ = 0 und ax₂ + by₂ = 0, also auch: a(x₁ + x₂ ) + b(y₁ + y₂ ) = 0, womit gilt.

Mit ax₁ + by₁ = 0 gilt auch für , womit auch gezeigt ist, dass .

Wenn U und W Untervektorräume von V sind, so ist ebenfalls ein Untervektorraum. Es gilt allgemein:

Satz 15WU (Durchschnittssatz für Vektorräume)

Sei V ein Vektorraum und I eine beliebige Indexmenge. Wenn alle U_i Teilräume von V sind, so ist auch ein Untervektorraum von V.

Beweis

Sei und , dann ist für alle und auch und damit ist .

Die anderen Eigenschaften überprüft man nach dem gleichen Schema.

Man kann natürlich im Falle der Vektoraddition den Satz auf den entsprechenden Durchschnittssatz für Untergruppen (Satz 5210B) zurückführen und braucht die Überlegungen nur noch für die skalare Multiplikation anstellen.

Beispiel 15X1 (Vereinigung von Teilräumen)

In Satz 15WU wird gezeigt, dass der Durchschnitt zweier Teilräume wieder einen Teilraum bildet. Dies ist im Allgemeinen bei der Vereinigung von Teilräumen nicht der Fall.

Betrachten wir im obigen Beispiel die durch und definierten Teilräume. Es ist dann und , beide Punkte liegen also auch in der Vereinigung. Ihre Summe (1, 1) jedoch nicht.

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Blaise Pascal

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