Yacas Reloaded - Freies Computer Algebra System

Inhalt

Grundlagen der Mathematik

Analysis

Reelle Zahlen

Reelle Funktionen

Definitionen

Klassen von Funktionen

Grenzwerte und Stetigkeit

Differentialrechnung

Integralrechnung

Unbestimmtes Integral

Grundintegrale

Integrationsregeln

Beispiele

Integration von

Funktionenklassen

Zusammenfassung

Riemann-Integral

Mittelwertsatz

Hauptsatz

Anwendungen

Uneigentliche Integrale

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Unbestimmtes Integral und Stammfunktion

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Als Stammfunktion oder unbestimmtes Integral einer reellen Funktion f bezeichnet man eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitungsfunktion F' mit f übereinstimmt. Ist also f auf einem Intervall I definiert, so muss F auf I definiert und differenzierbar sein, und es muss für beliebige Werte x aus I gelten:

F'(x) = f(x)

Eine auf einem Intervall I definierte Funktion f hat unendlich viele Stammfunktionen. Ist nämlich F eine Stammfunktion von f, so ist für jede beliebige reelle Zahl C auch die durch G(x) = F(x) + C definierte Funktion G eine Stammfunktion von f. Die Bezeichnung unbestimmtes Integral bezeichnet manchmal auch die Menge aller dieser Funktionen.

Ist f eine auf dem kompakten, also endlichen und abgeschlossenen Intervall [a,b] stetige Funktion, so lässt sich mit Hilfe einer beliebigen Stammfunktion F von f das bestimmte Integral von f über [a,b] berechnen:

Stammfunktionen werden daher für verschiedene Berechnungen benötigt, z.B.:

Flächenberechnung für Flächen, die von Funktionsgraphen begrenzt werden
Volumenberechnung für Rotationskörper

Stammfunktionen einfacher Funktionen lassen sich nach einigen wenigen Regeln bestimmen. Eine Tabelle gibt eine Übersicht über die wichtigsten Funktionen und deren Stammfunktionen.

Für jede integrierbare Funktion ist eine Integralfunktion F definiert durch

Diese Funktion ist stetig, und falls auch f stetig ist, ist F nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eine Stammfunktion von f. Ist jedoch f auf [a, b] integrierbar, aber nicht überall stetig, dann gilt zwar für alle c, d aus [a, b]

aber F ist in diesem Falle nicht überall differenzierbar und somit keine Stammfunktion von f.

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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