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Umkehrfunktionen

Wenn eine Abbildung injektiv ist, ist ihre Umkehrung auch eine Abbildung. Dies gilt analog für reelle Funktionen. Ist eine Funktion auf einem Intervall nicht umkehrbar eindeutig, muss man den Definitionsbereich der Funktion eventuell einschränken, um die Umkehrung der Funktion zu bestimmen.

Für die Umkehrung der Funktion f schreibt man f ^-1 .

Beispiele

1) Um die Umkehrfunktion von y = f(x) = 2x - 2 zu bestimmen, stellen wir die Gleichung nach x um und erhalten . Um eine Darstellung der Form y = f(x) zu erhalten, tauschen wir die Namen der Variablen x und y aus.

2) Die Funktion y = f(x) = x² ist auf ganz definiert dort aber nicht umkehrbar. Sie besitzt zwei Umkehrungen.

für und für .

Den Graphen der Umkehrfunktion f ^-1 einer Funktion f erhält man durch Spiegelung an der Geraden y = f(x) = x.

Satz 5726A

Ist eine Funktion f auf einem Intervall I streng monoton, so existiert dort die Umkehrfunktion.

Beweis

Sei f streng monoton wachsend (für streng monoton fallende Funktionen arbeitet der Beweis analog).

Sei für beliebige mit . Es gelte x₁ < x₂ (andernfalls vertauschen wir x₁ und x₂ ). Wegen der Monotonie gilt dann aber auch f(x₁ ) < f(x₂ ) und damit . f ist also injektiv auf I und damit umkehrbar.

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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