Trennkreisverfahren

Auffinden geeigneter Trennkreise

Der Kernpunkt des numerischen Verfahrens besteht im Auffinden geeigneter Trennkreise. Schönhage (1982) schlägt vor, den Betrag der größten Nullstelle zu schätzen und auf eine Kreis doppelten Radius drei gleichverteilte Punkte zu wählen. zusammen mit dem Koordinatenursprung werden diese dann als Mittelpunkt des Trennkreises getestet. Zu jedem dieser Testpunkte werden Schätzungen für die Abstände der Nullstellen des Polynoms bestimmt. Ergibt sich aus diesen Schätzungen ein Kreisring um den Testpunkt ohne enthaltene Nullstellen, so ist dies ein Kandidat für einen Trennkreis. Die relative Breite, d.h. das Verhältnis aus äußerem und inneren Radius, bestimmt die minimal notwendige Genauigkeit bei der numerischen Integration. Man wählt den besten Kandidaten nach den Kriterien der größten relativen Breite des Kreisrings und der gleichmäßigsten Aufteilung der Nullstellen auf das Innere und Äußere des Kreisrings.

Eine verbesserte Konstruktion der Menge der Testpunkte, die eine gleichmäßige Aufteilung der Nullstellen garantiert, wurde in Pan (1996,2002) vorgeschlagen. Eine weitere Variante, Gruppen trennbarer Nullstellen aufzufinden, sind Bisektions-Exklusionsverfahren (Weyl, Yakoubsohn).

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