Topologischer Vektorraum

Ein topologischer Vektorraum ist ein Vektorraum, auf dem neben seiner algebraischen auch noch eine damit verträgliche topologische Struktur definiert ist.

Sei . Ein K-Vektorraum E, der zugleich topologischer Raum ist, heißt topologischer Vektorraum, wenn folgende Verträglichkeitsaxiome gelten:

• Die Addition ist stetig,
• Die Skalarmultiplikation ist stetig.

Bemerkungen:

• Manchmal wird auch zusätzlich gefordert, dass E ein Hausdorff-Raum ist. Für topologische Vektorräume ist diese Eigenschaft äquivalent dazu, dass alle einpunktigen Mengen abgeschlossen sind.
• Ist der topologische Vektorraum ein Hausdorff-Raum, so sind die Abbildungen, die eine Verschiebung um einen bestimmten Vektor oder eine Streckung um einen Skalar darstellen, Homöomorphismen. In diesem Fall reicht es, topologische Eigenschaften des Raumes im Ursprung zu betrachten, da jede Menge homöomorph in den Ursprung verschoben werden kann.
• (E, + ) ist eine topologische Gruppe.
• Es ist wichtig, dass die beiden genannten Abbildungen nicht nur komponentenweise stetig sind.

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