Topologie (Mathematik)

Die Topologie (gr. , tópos, „Ort“, „Platz“ und -logie) ist ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik. Sie beschäftigt sich mit den Eigenschaften mathematischer Objekte, die unter stetigen Deformationen erhalten bleiben. Solche Deformationen kann man sich im Wesentlichen als Streckungen vorstellen. Die Topologie ging aus den Konzepten der Geometrie und Mengenlehre hervor.

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts entstand die Topologie als eine eigenständige Disziplin, die auf lateinisch geometria situs (“Geometrie des Ortes”) oder analysis situs (Griechisch-Latein für “Analysieren des Ortes”) genannt wurde. Hieraus entwickelte sich der heute gebräuchliche Name.

Das Wort Topologie ist innerhalb der Mathematik mehrdeutig. Es wird sowohl als Name für das hier beschriebene Fachgebiet benutzt als auch für eine Familie von Mengen, die gewisse Eigenschaften erfüllen, so dass ein Topologischer Raum entsteht. Von besonderer Bedeutung ist der Begriff der Stetigkeit und insbesondere die so genannten Homöomorphismen. Diese lassen sich als stetige Abbildungen, für die eine stetige inverse Abbildung existiert, definieren.

Seit Jahrzehnten ist die Topologie als Grundlagendisziplin anerkannt. Dementsprechend kann sie neben der Algebra als zweiter Stützpfeiler für eine große Anzahl anderer Felder der Mathematik angesehen werden. Sie ist besonders wichtig für alle Teilgebiete der Geometrie, die Analysis, die Funktionalanalysis, die Theorie der Lie-Gruppen, die Graphentheorie usw. Ihrerseits hat sie auch die Mengenlehre und Kategorientheorie befruchtet.

Die Topologie gliedert sich selbst in mehrere Teilgebiete. Hierzu zählen die algebraische Topologie, die geometrische Topologie sowie die Graphen- und die Knotentheorie. Die Mengentheoretische Topologie kann hierbei als Grundlage für all diese Teildisziplinen angesehen werde.

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