Tetraeder

Regelmäßiges Tetraeder

Weitere Eigenschaften

Verhältnis zu Oktaeder, Würfel, archimedischen Körpern

Tetraeder in Tetraeder

Durch Verbinden der Flächenmittelpunkte erhält man wieder ein Tetraeder. Man sagt deshalb: Das Tetraeder ist zu sich selbst dual. Die Seitenlänge des neuen Tetraeders beträgt ein Drittel der ursprünglichen Seitenlänge.

Mit Hilfe dieser beiden Tetraeder können Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Tetraedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

• das abgestumpfte Tetraeder mit 4 Sechsecken und 4 Dreiecken (siehe Archimedischer Körper),
• das Oktaeder mit 4 + 4 = 8 Dreiecken und 6 Ecken (mit höherer Symmetrie) als Durchschnitt zweier Tetraeder,
• das Sterntetraeder (ein Oktaeder mit 8 aufgesetzten Tetraedern) als Vereinigung zweier Tetraeder
• den Würfel mit 4 + 4 = 8 Ecken (und mit höherer Symmetrie) als konvexe Hülle dieses Sternkörpers.

Siehe dazu auch das Beispiel weiter unten.

Umgebender Würfel

Animation eines Tetraeders

Tetraederwinkel-Berechnung

Das Tetraeder kann in einen Würfel so einbeschrieben werden, dass seine Ecken zugleich Würfelecken und seine sechs Kanten Diagonalen der Würfelflächen sind. (Die acht Ecken des Würfels bilden zwei disjunkte Mengen von je vier Ecken, die den beiden möglichen Lagen des Tetraeders entsprechen.)Das Volumen dieses Würfels ist das Dreifache des Tetraedervolumens.

Dual dazu kann das Tetraeder einem Oktaeder so umbeschrieben werden, dass vier der Oktaederflächen in den Begrenzungsflächen des Tetraeders liegen und die sechs Ecken des Oktaeders die Mittelpunkte der sechs Tetraederkanten sind.(Die acht Flächen des Oktaeders bilden zwei disjunkte Mengen, die den beiden Lagen für das dem Oktaeder umbeschriebene Tetraeder entsprechen.)

Winkel

Aufriss eines Tetraeders

Der Winkel zwischen zwei Begrenzungsflächen des regelmäßigen Tetraeders (in der Zeichnung mit bezeichnet) beträgt 70,53° (Rundungsgenauigkeit wie bei den nachfolgenden Angaben zwei Nachkommastellen). Jede Kante bildet mit der gegenüberliegenden Fläche einen Winkel () von 54,74°. Die Verbindungsstrecken zwischen dem Tetraedermittelpunkt und zwei Ecken schließen jeweils einen Winkel von arccos(-1/3) ein, dies entspricht 109,47°. Der zuletzt genannte Winkel () wird als Tetraederwinkel bezeichnet und spielt eine wichtige Rolle in der Chemie, beispielsweise bei der Geometrie des Methan-Moleküls. Die Größen der angegebenen Winkel lassen sich durch Anwendung trigonometrischer Funktionen ermitteln. Man betrachtet dazu die Schnittfigur des Tetraeders mit einer seiner sechs Symmetrieebenen. Daraus ergibt sich exakt:

Zur Berechnung des Tetraederwinkels siehe Artikel Stumpfer Winkel.

Querschnitt

Quadratischer Querschnitt durch einen Tetraeder

Das regelmäßige Tetraeder kann so in zwei Teile geschnitten werden, dass die Schnittfläche ein Quadrat ist. Die Teile sind kongruent zueinander.

Liegt die Schnittebene durch ein regelmäßiges Tetraeder parallel zu einer der vier Seitenflächen, dann ergibt der Querschnitt ein gleichseitiges Dreieck.

Liegt die Schnittebene durch ein regelmäßiges Tetraeder parallel zu zwei gegenüberliegenden Kanten, dann ergibt der Querschnitt ein Rechteck. Hat die Schnittebene zusätzlich noch von diesen beiden Kanten den gleichen Abstand, also teilt sie die übrigen vier Kanten genau zur Hälfte, dann ist das Schnittbild ein Quadrat. Das Quadrat hat eine Kantenlänge, die genau halb so lang ist wie die Länge einer Kante des Tetraeders.

Beispiel

Die Einbettung des Tetraeders in einen Würfel bietet eine einfache Möglichkeit, ein regelmäßiges Tetraeder zu konstruieren. Bezeichnen wir die Eckpunkte des Würfels an der Basis mit A, B, C und D sowie die darüberliegenden Eckpunkte mit E, F, G und H, so bilden A, C, F und H sowie B, D, E und G jeweils die Ecken eines Tetraeders. Betrachtet man z. B. in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem den Würfel, dessen Ecken die Koordinaten +1 und –1 haben, so erhält man für das erste Tetraeder die Ecken

• A(1,1,–1), C(–1,–1,–1), F(–1,1,1) und H(1,–1,1).

Die Kanten sind: AC, AF, AH, CF, CH und FH. Die Seitenflächen sind die Dreiecke ACF, ACH, AFH und CFH.

Das zweite Tetraeder hat die Ecken

• B(–1,1,–1), D(1,–1,–1), E(1,1,1) und G(–1,–1,1).

Der Durchschnitt dieser beiden Tetraeder ist das von den Punkten (1,0,0), (–1,0,0), (0,1,0) (0,–1,0), (0,0,1) und (0,0,–1) bestimmte Oktaeder. Ihre Vereinigung ist ein Sternkörper mit 8 Spitzen (in jeder Ecke des Würfels eine). Seine konvexe Hülle ist daher der Würfel.

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