Tetraeder

Regelmäßiges Tetraeder

Das regelmäßige Tetraeder (reguläre Tetraeder) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein (dreidimensionales) Polyeder (Vielflächner) mit

• vier (kongruenten) gleichseitigen Dreiecken als Flächen
• sechs (gleich langen) Kanten und
• vier Ecken, in denen jeweils drei Flächen zusammentreffen

Das Tetraeder ist auch eine gleichseitige dreiseitige Pyramide (mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche).

Symmetrie

Symmetrieachsen und -ebene eines Tetraeders

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Tetraeder ein reguläres Polytop. Es hat

• vier dreizählige Drehachsen (durch die Ecken und die Mitten der gegenüberliegenden Seitenflächen),
• drei zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten) sowie
• sechs Symmetrieebenen (jeweils durch eine Kante und senkrecht (normal) zur gegenüberliegenden Kante).

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Tetraeders – die Tetraedergruppe – 24 Elemente.Sie ist die symmetrische Gruppe S₄ und bewirkt alle 4! = 24 Permutationen der Ecken bzw. der Seitenflächen. Sie ist Untergruppe der Oktaedergruppe (Würfelgruppe).

Im Einzelnen gehören zur Tetraedergruppe

• 12 Drehungen (gerade Permutationen), nämlich
• die identische Abbildung,
• 8 Drehungen um 120° (vier mögliche Drehachsen durch jeweils eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksfläche, 2 Möglichkeiten für den Drehsinn) und
• 3 Drehungen um 180° (Drehachsen jeweils durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten)

sowie

• 12 ungerade Permutationen. Diese erhält man, indem man nach jeder der 12 geraden Permutationen noch die Spiegelung an einer festen Symmetrieebene durchführt. 6 davon lassen sich auch als eine reine Ebenenspiegelung beschreiben, die anderen sechs als Drehspiegelungen von Drehung um 90° um eine Achse, die durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten verläuft, und Spiegelung an der zu dieser Achse senkrechten Ebene, die den Mittelpunkt zwischen den beiden gegenüberliegenden Kanten beinhaltet.

Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe der Tetraedergruppe, die so genannte alternierende Gruppe A₄ . Manchmal wird der Begriff Tetraedergruppe auch nur für diese unter Ausschluss der Spiegelungen verwendet.

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