Inhalt

Tensor

Einleitung
	Unterschiedliche Betrachtungsweisen/ Einsteinsche Summenkonvention
	Ko- und Kontravarianz
Definition
	Beispiele/ Tensoralgebra
Basis
	Basiswechsel und Koordinatentransformation
Operationen auf Tensoren
&\sum \beta_{i_k}(v^{j_l})\cdot(\beta_{i_1}\otimes\cdots\otimes\beta_{i_{k-1}} \otimes\beta_{i_{k+1}}\otimes\cdots\otimes\beta_{i_r}\otimes v^{j_1}\otimes\cdots\otimes v^{j_{l-1}}\otimes v^{j_{l+1}}\otimes\cdots\otimes v^{j_s})
	Pull-Back (Rücktransport)/ Push-Forward
Tensorproduktraum
	Tensor als Element des Tensorproduktes
\lambda(v_1\otimes\cdots\otimes v_i\otimes\cdots\otimes v_s),\quad\lambda\in K
	Tensorprodukte und Multilinearformen
	Tensorprodukte eines Vektorraums und Symmetrie/ Injektives und projektives Tensorprodukt
Tensoranalysis
Literatur
Weblinks

Tensor

Levi-Civita-Symbol im Dreidimensionalen als Beispiel eines besonders einfachen dreistufigen Tensors

Der Tensor ist ein mathematisches Objekt aus der Algebra und Differentialgeometrie. Der Begriff wurde ursprünglich in der Physik eingeführt und erst später mathematisch präzisiert. Auch heute noch ist die Tensoranalysis ein wichtiges Werkzeug in den physikalischen Disziplinen. Ein Tensor ist eine multilineare Abbildung, also eine Abbildung, welche in jeder Variablen linear ist.

Anschaulich, aber mathematisch unpräzise, kann man sich den Tensor als eine mehrdimensionale Matrix vorstellen:

Eine Zahl ist ein Tensor 0-ter Stufe.
Ein (Spalten-) Vektor ist ein Tensor erster Stufe.
Eine Matrix ist ein Tensor zweiter Stufe.
Das Levi-Civita-Symbol im ist ein Beispiel für einen Tensor n-ter Stufe.

Beispielsweise ist der mechanische Spannungstensor in der Physik ein Tensor zweiter Stufe – eine Zahl (Stärke der Spannung) oder ein Vektor (eine Hauptspannungsrichtung) reichen nicht immer aus. Eine Matrix M kann als lineare Abbildung aufgefasst werden. So lässt sich der Spannungstensor als Matrix auffassen, die zu einer gegebenen Richtung v die Spannung in dieser Richtung ausrechnet.

Aber nicht alle Größen mit zwei oder mehr Indizes sind Tensoren (deshalb oben die Bemerkung „... unpräzise“).

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