Teilverhältnis

Unter dem Teilverhältnis versteht man in der Geometrie eine Zahl, die die Position eines Punktes in Bezug auf eine gegebene Strecke festlegt. Als Formelzeichen wird häufig verwendet. Teilt der Punkt T die Strecke , so schreibt man für das Teilverhältnis oder, wenn die Bedeutung aus dem Zusammenhang klar ist, häufiger noch einfach .

Beispiel für ein Teilverhältnis: Die Seitenhalbierende s_a wird vom Schwerpunkt S des Dreiecks im Verhältnis 2:1 geteilt. Dabei wird die Seitenhalbierende von der Ecke A zur gegenüberliegenden Mitte M_a der Strecke a hin orientiert; formalisiert: TV(AM_a S) = 2.

Die Mitte M einer Strecke teilt zum Beispiel die Strecke im Verhältnis 1:1, d.h. . Ein weiteres einfaches Beispiel ist die in der Abbildung dargestellte Aussage über den Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden in einem beliebigen Dreieck.

Ein (äußeres) Teilverhältnis wird zusätzlich für den Fall definiert, dass T nicht auf der Strecke liegt, sondern auf deren Verlängerung (äußere Teilung). Zusammen ergeben inneres und äußeres Teilverhältnis den Begriff Teilverhältnis in der affinen Geometrie, mit dem eine wichtige Invariante unter affinen Abbildungen beschrieben werden kann. Dieses allgemeinere Teilverhältnis hängt eng mit affinen Koordinatensystemen zusammen: Affine Koordinaten können stets aus Teilverhältnissen berechnet werden und umgekehrt.

Das Doppelverhältnis wird ähnlich gebildet wie das Teilverhältnis und hat in Projektiven Räumen eine vergleichbare Bedeutung.

Im Falle einer zweidimensionalen Geometrie (Ebene) wird ein Teilverhältnis in der synthetischen Geometrie allgemeiner auch für bestimmte nichtdesarguesche Ebenen definiert. → Siehe Affine Translationsebene.

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