Teilbarkeit

Verallgemeinerung des Teilbarkeitsbegriffs

Kommutative Ringe

Der Teilbarkeitsbegriff wird auch wesentlich allgemeiner in kommutativen Ringen betrachtet. Die Definition von Teilbarkeit in natürlichen und ganzen Zahlen wird hier direkt übernommen:

Es sei R ein kommutativer Ring. Sind Ringelemente, dann ist a ein Teiler von b, falls ein weiteres Ringelement mit existiert.

In Ringen teilt a genau dann b, wenn das von a erzeugte Hauptideal (a) das von (b) erzeugte umfasst, formal: .

Ein einfaches Beispiel aus den ganzen Zahlen: Das von 2 erzeugte Hauptideal (2) ist die Menge aller Vielfachen von 2, (4) dementsprechend die Menge aller Vielfachen von 4. , also ist 2 ein Teiler von 4.

Die fruchtbarsten Teilbarkeitseigenschaften erhält man in Integritätsringen, das sind nullteilerfreie kommutative unitäre Ringe.

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