Teilbarkeit

Teilbarkeitsregeln in beliebigen Zahlensystemen

In einem Zahlensystem zur Basis B lassen sich Teilbarkeitsregeln für Teiler T finden, die sich in eine teilerfremde Faktorenzerlegung möglichst kleiner Zahlen zerlegen lässt,die Teiler von Bⁿ , Bⁿ - 1 oder Bⁿ + 1 sind.n sollte dabei möglichst klein sein, für Kopfrechnen sind nur Werte bis maximal 4 sinnvoll.

B=2: Teiler 2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,21,31,32,33,63,64,65, …

B=3: Teiler 2,3,4,5,7,8,9,10,13,14,16,20,26,27,28,40,41,80,81,82, …

B=4: siehe B=2

B=5: Teiler 2,3,4,5,6,7,8,9,12,13,14,18,24,25,26,31,39,62,63,78,124,125,126,156,312,313,624,625,626,…

Die folgenden Teilbarkeitsregeln benutzen andere Stellenwertsysteme:

• Eine Zahl ist durch eine Zahl der Form 2ⁿ-1 teilbar genau dann, wenn bei der Darstellung zur Basis 2ⁿ die Quersumme durch 2ⁿ-1 teilbar ist. Die Darstellung zur Basis 2ⁿ ergibt sich leicht aus der Darstellung der Zahl im Dualsystem. Dazu wird die Zahl rechts beginnend in Gruppen von n Stellen eingeteilt, der Dezimalwert der einzelnen Gruppen entspricht nun den Werten der Ziffern in der Darstellung zur Basis 2ⁿ. Zum Beispiel ist 91₁₀ durch 7₁₀ = 2³-1 teilbar, weil 91₁₀ = 001 011 011₂ = 133₈ im Oktalsystem (Basis 2³) die Quersumme 1₈+3₈+3₈ = 7₁₀ hat.
• Eine Zahl ist durch 27 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme zur Basis 1000 durch 27 teilbar ist. Diese Quersumme kann man erhalten, indem man ihre dezimale Darstellung rechts beginnend in Dreierblöcke einteilt und die Summe dieser Blöcke bildet.
• Eine Zahl ist durch n teilbar genau dann, wenn ihre Darstellung als n-basische Zahl mit einer 0 endet.

Weitere Teilbarkeitseigenschaften findet man im Artikel Kongruenz (Zahlentheorie).

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