Teilbarkeit

Formale Definition

Eine ganze Zahl a teilt eine ganze Zahl b genau dann, wenn es eine ganze Zahl n gibt, für die gilt: . Man sagt dann auch „a ist Teiler von b“, „b ist teilbar durch a“, „b ist Vielfaches von a“ und schreibt formal a | b.

Wegen des Distributivgesetzes ist für alle n, so dass das einzige Vielfache der 0 die 0 selbst ist. Also gilt 0 | b genau dann, wenn b ebenfalls 0 ist. Andererseits ist ein jedes n ein (trivialer) Teiler der 0, und 0 eines seiner (trivialen) Vielfachen. (In nullteilerfreien Ringen gibt es keinen nicht-trivialer Teiler der 0.)

Die 1 ist das neutrale Element der Multiplikation, d. h. die Multiplikation mit 1 ändert einen Ausgangswert nicht. Zu den Elementen gibt es ein multiplikatives Inverses, nämlich ein Element e' ( = e) mit . Solche Elemente werden Einheiten des Rings genannt. Einheiten sind triviale Teiler einer jeden ganzen Zahl. Die Einheiten des Rings der ganzen Zahlen sind gerade die Zahlen . (Die Einheiten eines Rings bilden eine multiplikative Gruppe.)

Es gelte a | b und . Ist a keiner der trivialen Teiler , so nennt man a einen nichttrivialen Teiler oder echten Teiler von b. Eine ganze Zahl, die nicht Einheit ist und die nur die trivialen Teiler besitzt, nennt man Primelement und, wenn sie > 1 ist, Primzahl. Ist a eine Primzahl, so heißt a Primteiler oder Primfaktor von b.

Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl n nennt man die „Teilermenge von n“. Die Quasiordnung der Teilbarkeit induziert auf ihr die Struktur eines Verbandes, man spricht deshalb auch vom „Teilerverband von n“.

Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl n heißt entsprechend Vielfachenmenge. Bei den ganzen Zahlen ist die Mächtigkeit dieser Menge abzählbar unendlich.

Die Anzahl der Teiler ist eine zahlentheoretische Funktion.

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