Teilbarkeit

Eigenschaften der Teilbarkeit

• Jede Zahl besitzt mindestens ihre trivialen Teiler, insbesondere sind die Einheiten Teiler einer jeden ganzen Zahl.
• Jede ganze Zahl ist ein (trivialer) Teiler der 0.
• Jede ganze Zahl teilt sich selbst (Reflexivität der Quasiordnung).
• Der kleinste positive Teiler einer ganzen Zahl ist ein Primteiler.

Seien a, b, c und d ganze Zahlen.

• Gilt a | b, so gilt auch - a | b und a | - b. Man kann sich also bei der Untersuchung des Teilbarkeitsbegriffs auf natürliche Zahlen beschränken.
• Gilt a | b und b | c, so folgt a | c (Transitivität der Quasiordnung).
• Für gilt:
• Gilt a | b und c | d, so gilt auch ac | bd.
• Gilt a | b und a | c, so gilt auch a | kb + lc für alle ganzen Zahlen k und l.
• Gilt a | b und b | a so ist a = b oder a = - b.

Die natürlichen Zahlen sind mit der Teilbarkeitsrelation eine quasigeordnete Menge, sogar ein vollständiger distributiver Verband, dessen Verknüpfungen durch kgV und ggT gegeben sind. Das kleinste Element ist die 1 (1 teilt jedes andere), das größte ist die 0 (0 wird von jedem anderen geteilt).

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