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Tautologien

Eine Formel, die unter jeder passenden Belegung den Wahrheitswert w hat, nennt man Tautologie. Eine Formel, dessen Wahrheitswert unter allen passenden Belegungen f ist, nennt man Kontradiktion.

Lemma 172X

Für beliebige aussagenlogische Formeln , und sind die folgenden Verknüpfungen Tautologien.

Beweis

(i) Sei eine passende Belegung für dann gilt genau dann, wenn oder . Da für jede passende Belegung wahr oder falsch ist, gilt auch für jede passende Belegung und damit ist eine Tautologie.

(ii) Wir betrachten . Sei eine passende Belegung für , dann gilt genau dann, wenn oder oder . Da für jede passende Belegung wahr oder falsch ist, gilt auch für jede passende Belegung und damit ist eine Tautologie.

(iii) kann man analog beweisen oder besser über eine Wahrheitswertetabelle.

(iv) wird für eine passende Belegung genau dann wahr, wenn oder oder . Wenn gilt also auch .

Wir brauchen also nur noch den Fall zu untersuchen. Damit gilt, muss eine der beiden Implimkationen falsch sein. Dies ist der Fall, wenn oder ist, also wenn oder .

Also ist unter allen möglichen Belegungen wahr.

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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