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Stochastik

Stochastik als ein Teilgebiet der Mathematik ist die Lehre der Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit. Sie ist ein verhältnismäßig junger Teilbereich der Mathematik, zu dem im weiteren Sinne auch die Kombinatorik, die Wahrscheinlichkeitstheorie und die mathematische Statistik gehören.

Überblick

Der Begriff Stochastik stammt aus dem Griechischen und heißt soviel wie "Kunst des Mutmaßens". Mathematische Stochastik ist die Beschreibung und Untersuchung von:

• Zufallsexperimenten (zum Beispiel Würfeln, Münzwurf oder Reißzweckenwurf) und deren Ausgang (Ereignis),
• zeitlichen Entwicklungen bzw.
• räumlichen Strukturen,

die vom Zufall beeinflusst werden.

Solche Ereignisse, Entwicklungen bzw. Strukturen werden oft durch Daten dokumentiert, für deren Analyse die Statistik geeignete Methoden bereitstellt.

Mit Hilfe der Stochastik kann man etwa die Wahrscheinlichkeit für Lottogewinne berechnen oder die Größe des möglichen Fehlers bei Meinungsumfragen bestimmen.

Die Stochastik ist auch für die Finanzmathematik von Bedeutung und hilft mit ihrer Methodik beispielsweise bei der Preisfindung für Optionen.

Wichtige Begriffe

Die Prognose ist dabei

• ein Maß für die Unsicherheit zukünftiger Ereignisse,
• ein Maß für den Grad an persönlicher Überzeugung (Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff), also letztlich eine Erweiterung der Aussagenlogik.

Wahrscheinlichkeiten werden mit dem Buchstaben "P" (von frz. probabilité, eingeführt von Laplace) oder "W" dargestellt.

Wahrscheinlichkeiten tragen keine Einheit, sondern sind Zahlen zwischen Null und Eins, wobei Null und Eins zulässige Wahrscheinlichkeiten sind. Deshalb können sie als Prozentangaben (20 %), Dezimalzahlen (0,2), Brüche (2/10) oder Trefferquote (2 von 10, oder auch 2 zu 8) angegeben werden.

Nur in dem Fall, dass es nur abzählbar viele mögliche Versuchsausgänge des Zufallsexperiments gibt, gilt folgende Aussage: Ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0 kann als unmöglich, eines mit Wahrscheinlichkeit 1 als sicher interpretiert werden.

Führt man ein Zufallsexperiment mehrmals hintereinander durch, so kann die relative Häufigkeit eines Ereignisses errechnet werden, indem man die absolute Häufigkeit, also die Anzahl geglückter Versuche, durch die Anzahl der unternommenen Versuche dividiert. Für eine unendliche Anzahl von Versuchen geht diese relative Häufigkeit in die Wahrscheinlichkeit über; die in der Praxis oft vorgenommene Gleichsetzung von relativer Häufigkeit mit Wahrscheinlichkeit ist gefährlich, da sie für Verwechslungen und Fehlschlüsse sorgt.

Regeln

• . Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, das alle möglichen Versuchsausgänge umfasst, ist 1.
• . Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist 0.
• . Alle Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen Null und Eins.
• P(A) = 1 - P(A). Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses und die seines Nichteintretens addieren sich zu Eins.
• . In einem vollständigen System von Ereignissen A_i (hierfür müssen alle A_i paarweise disjunkt sein und ihre Vereinigungsmenge gleich sein) ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich 1.

Einfache Beispiele

• Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Münzwurf das Wappen zu bekommen, beträgt beim ehrlichen Wurf einer Münze 0,5
• Die Wahrscheinlichkeit bei einem idealen Würfel (Laplace Würfel) bei einem Wurf eine 4 zu erhalten beträgt 1/6 = 0,16666...

Unmögliche Ereignisse

Dass einem Ereignis die Wahrscheinlichkeit Null zugeordnet wird, heißt nicht, dass dessen Eintritt prinzipiell unmöglich ist.

Dies wird durch folgendes Beispiel veranschaulicht: In einem Zufallsexperiment wird eine beliebige reelle Zahl zwischen 0 und 1 gezogen. Es wird davon ausgegangen, daß jede Zahl gleichwahrscheinlich sei - es wird also die Gleichverteilung auf dem Intervall [0, 1] vorausgesetzt. Dann ist, da es in dem Intervall unendlich viele Zahlen gibt, für jede einzelne Zahl aus dem Intervall die Eintrittswahrscheinlichkeit gleich Null, dennoch ist jede Zahl aus [0, 1] als Ziehungsergebnis möglich.

Ein unmögliches Ereignis ist im Rahmen dieses Beispiels etwa die Ziehung der 2, also das Elementarereignis {2}.

Begriffe aus der Stochastik

• Zufall
• Gesetz der großen Zahlen
• Gesetz der kleinen Zahlen
• Wahrscheinlichkeit
• Stochastische Unabhängigkeit
• Stochastischer Prozess
• Markow-Kette

Bereiche der Stochastik

• Kombinatorik
• Spieltheorie
• Wahrscheinlichkeitstheorie
  • Zufallsvariable
  • Wahrscheinlichkeitsverteilungen
    • Gleichverteilung
    • Normalverteilung
    • Exponentialverteilung
    • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Verteilung
    • Poisson-Verteilung
    • Mischverteilung
  • Wahrscheinlichkeitsdichten
• Statistik
  • Induktive Statistik
  • Statistischer Test
• Benfordsches Gesetz
• Quantenlogik

Beispiele

Ziegenproblem, auch als "Drei-Türen-Problem" bekannt.

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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