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Stetigkeit reeller Funktionen

Eine reelle Funktion f heißt an einer Stelle x₀ stetig, wenn es zu jedem ein gibt, so dass für alle x mit gilt: , oder formaler ausgedrückt:

Die Funktion f heißt auf einer Menge stetig, wenn sie für alle stetig ist.

Anschaulich kann man sich stetige Funktionen als durchgezogene Funktionsgraphen ohne Sprünge vorstellen.

Die Stetigkeit steht zum Grenzwert einer Funktion in folgender Beziehung

Satz 5225F

Eine Funktion f ist genau dann an einer Stelle x₀ stetig, wenn gilt.

Beweis

Die Behauptung ergibt sich durch Vergleich der Definition der Stetigkeit mit derjenigen des Funktionsgrenzwerts.

Beispiel

mit ist and der Stelle x = 1 nicht stetig, denn es ist . Hätten wir die Funktion mit f(1) := 2 definiert, wäre f stetig für x = 1 und mit g(x) = x + 1.

Satz 5227M

Summe, Differenz und Produkt stetiger Funktionen ist eine stetige Funktion.

Wenn f in x₀ stetig und verschieden von Null ist, dann ist auch stetig in x₀

Beweis

Folgt unmittelbar aus Satz 5225F und Satz 5227L.

Satz 5227N

Alle Polynome sind stetig

Die rationalen Funktionen in den Punkten stetig, wo der Nenner von Null verschieden ist.

Alle durch Potenzreihen darstellbare Funktionen sind in ihrem Konvergenzintervall stetig.

Die trigonometrischen Funktionen und die Exponentialfunktion sind stetig.

Beweis

Ist eine unmittelbare Folgerung aus Satz 5227M.

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.

David Hilbert

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