Stetigkeit

Definitionen

Stetigkeit reeller Funktionen

Für reelle Funktionen – also Funktionen, deren Definitionsbereich und Zielbereich Teilmengen der reellen Zahlen sind – sind zwei äquivalente Definitionen der Stetigkeit üblich:

Veranschaulichung der ε-δ-Definition: für ε=0,5 erfüllt δ:=0,5 die Stetigkeitsbedingung.

Epsilon-Delta-Kriterium

Die Funktion ist stetig in , wenn zu jedem ein existiert, so dass für alle mit gilt: .

Intuitiv bedeutet dies, dass man in eine noch so kleine ε-Umgebung alle Funktionswerte einschließen kann, wenn man die δ-Umgebung für die x-Werte klein genug wählt.

Folgenkriterium

Die Funktion ist stetig in , wenn für jede Folge mit Elementen , die gegen x₀ konvergiert, auch f(x_k ) gegen f(x₀ ) konvergiert.

Eine Funktion heißt stetig in D, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Der Begriff der Stetigkeit einer Funktion lässt sich auch mit Hilfe des Begriffs des Grenzwerts einer Funktion definieren: Eine Funktion f ist stetig in genau dann, wenn der Grenzwert von f für existiert und gilt oder wenn x₀ ein isolierter Punkt ist.

Beispiele

• Die Sinusfunktion ist in stetig.
• Die Kosinusfunktion ist in stetig.
• ist (als Komposition der Exponential- und der Kosinusfunktion) in stetig.
• Die Tangensfunktion ist stetig in ihrem gesamten Definitionsbereich D. Dieser ergibt sich wegen zu , also zu .
  Bemerkung: Keine Unstetigkeitsstellen sind die Argumente sowie das Argument x = 0 der Kehrwert-Funktion, da die Funktionen an diesen Stellen gar nicht definiert sind und sich Stetigkeit immer nur auf Punkte des Definitionsbereichs beziehen kann.
• Die Kehrwert-Funktion ist stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich .
• Die Signum-Funktion
  \operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}1\ , & x>0\ ,\\ 0\ , & x=0\ ,\\ -1\ , & x<0\ ,\end{cases}
  stetig, aber an der Stelle 0 unstetig: Der linksseitige Grenzwert ist −1, der rechtsseitige Grenzwert +1 und somit existiert der Grenzwert nicht. Deshalb ist die Signum-Funktion nicht auf ganz stetig.
• Die Funktion
  f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\ ,\ f(x) := \left\{\begin{array}{ll}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\ ,&x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\ ,\\0\ ,&x = 0\ ,\end{array}\right.
  Oszillationsstelle), in allen anderen Punkten stetig.
• Die Dirichlet-Funktion
  f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\ ,\ f(x) := \left\{\begin{array}{ll}1\ ,&x \in \mathbb{Q}\ ,\\0\ ,&x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\ ,\end{array}\right.
  
• Die thomaesche Funktion auf dem Intervall [0;1]
  f(x) := \begin{cases} 1\ ,& \mbox{wenn } x=0\ , \\ 0\ , & \mbox{wenn } x \mbox{ irrational}\ , \\ \frac 1q\ , & \mbox{wenn } x=\frac pq \mbox{ mit } p, q \in \N \mbox{ und } \operatorname{ggT}(p,q)=1\ , \end{cases}
  

Eigenschaften

• Sind f und g stetig auf einem gemeinsamen Definitionsbereich D, so sind auch f + g, f - g, und stetig; allerdings muss der Definitionsbereich von für den Fall, dass g eine oder mehrere Nullstellen hat, auf den Bereich eingeschränkt werden.
• Die Komposition zweier stetiger Funktionen ist ebenfalls stetig.

Linksseitige/rechtsseitige Stetigkeit

Graph einer in x₀ linksseitig stetigen Funktion f.

Eine auf einer Menge definierte Funktion f ist in einem Punkt linksseitig stetig, wenn für den linksseitigen Grenzwert gilt. Ist f auf dem ganzen Definitionsbereich linksseitig stetig, so sagt man auch, f ist linksstetig. Analog definiert man rechtsseitige Stetigkeit über den rechtsseitigen Grenzwert.

Eine auf einer Teilmenge der reellen Zahlen definierte Funktion ist also genau dann stetig in x₀ , wenn in x₀ rechts- und linksseitige Grenzwerte existieren und = f(x₀ ) sind, also wenn die Funktion in x₀ sowohl linksseitig als auch rechtsseitig stetig ist. Dies ermöglicht eine Klassifizierung von Unstetigkeitsstellen.

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