Sphärische Geometrie

Grundbegriffe

Die Ausgangsbegriffe ebener Geometrien sind der Punkt und die Gerade. Auf der Kugel werden diese folgendermaßen definiert:

Gerade

Die Rolle der Geraden kommt in der sphärischen Geometrie den Großkreisen zu. Großkreise sind Kreise auf der Kugel, deren (euklidischer) Mittelpunkt der Kugelmittelpunkt ist. Beispiele für Großkreise auf dem Globus sind der Äquator und die Meridiane. Einen Großkreis erhält man durch Schnitt der Kugeloberfläche mit einer den Kugelmittelpunkt enthaltenden Ebene.

Punkt

Durch Schnitt der Kugel mit einer euklidischen Ebene erhält man einen Kreis. Ist der Abstand des Mittelpunktes der Kugel zu der schneidenden Ebene gleich dem Radius der Kugel, so beschreibt der Schnitt gerade einen Kreis mit Radius 0, also einen Punkt auf der Kugel.

Geographischer Punkt

In der geographischen Auffassung von sphärischer Geometrie wird die Definition des Punktes aus der euklidischen Geometrie übernommen, d. h. die Menge der sphärischen Punkte wird definiert als die Menge aller Punkte des dreidimensionalen euklidischen Raums, die sich auf der Kugeloberfläche befinden.

Elliptischer Punkt

Vom geometrischen Standpunkt hat die geographische Definition des Punktes einen gravierenden Nachteil. In geometrischen Axiomensystemen wird im Allgemeinen gefordert, dass zwei Punkte genau eine Gerade bestimmen. Dies ist bei obiger Definition nicht der Fall, wenn man Gegenpunkte auf der Kugel betrachtet. Gegenpunkte sind Punkte, deren euklidische Verbindungsgerade durch den Kugelmittelpunkt verläuft. (Sie verhalten sich also zueinander wie Nord- und Südpol auf dem Globus.) Durch Gegenpunkte verlaufen unendlich viele Großkreise (entsprechend den Längenkreisen auf dem Globus). Jeder Großkreis durch einen Punkt verläuft auch durch seinen Gegenpunkt. Es ist deshalb sinnvoll, Paare von Gegenpunkten zu einem Punkt zusammenzufassen.

Da die elliptische Definition des Punktes jeden Punkt mit seinem Gegenpunkt identifiziert, wird auch jede Figur (Punktmenge) auf der Kugel mit ihrer Gegenfigur identifiziert. (Insbesondere besteht zum Beispiel ein Dreieck aus zwei Gegendreiecken.)

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