Sphärische Geometrie

Flächenberechnung

Kugelzweieck

Zwei Großkreise mit den Schnittpunkten P und P' unterteilen die Kugeloberfläche in vier Kugelzweiecke. Ein Kugelzweieck wird durch zwei P und P' verbindende Kreisbögen dieser Großkreise begrenzt. Die Fläche A_Z eines Kugelzweiecks verhält sich zur Gesamtoberfläche der Kugel A_K wie sein Öffnungswinkel zum Vollwinkel:

.

Insbesondere gilt also auf der Einheitskugel

.

Kugeldreieck

Der Flächeninhalt A_D eines Kugeldreiecks mit den Winkeln und errechnet sich aus seinen Winkeln:

Da der Flächeninhalt immer größer als Null ist, muss die Summe der drei Innenwinkel eines sphärischen Dreiecks größer als (oder 180°) sein:

Der Überschuss der Winkelsumme über die Winkelsumme eines euklidischen Dreiecks wird als sphärischer Exzess bezeichnet. Der sphärische Exzess eines Dreiecks ist zu dessen Flächeninhalt proportional (und auf der Einheitskugel mit dem Proportionalitätsfaktor 1 sogar gleich).

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