Sphärische Geometrie

Dualität auf der Kugel

Dualität von Punkt und Gerade auf der Kugel

Inzidenz- und Winkel-Längen-Erhalt bei Dualisierung

Die sphärische Geometrie ist mit der elliptischen Definition der Punkte eine projektive Geometrie. In der projektiven Geometrie lassen sich alle Sätze dualisieren, das heißt, die Begriffe Punkt und Gerade werden vertauscht (demzufolge auch Längen und Winkel wie in obiger Tabelle). Auf der Kugel lässt sich sogar jeder Geraden a ihr dualer Punkt A sowie umgekehrt jedem Punkt A seine duale Gerade a eindeutig zuweisen. Zu einem Kreis erhält man das duale Punktepaar als Schnittpunkte der Kugel mit der durch den Kugelmittelpunkt verlaufenden Senkrechten zur Ebene des Kreises (vgl. Abbildung).

Bei der Dualisierung bleibt die Inzidenz von Punkten und Geraden erhalten. Es gilt also: Wenn ein Punkt A auf einer Geraden b liegt, so verläuft die zu ihm duale Gerade a durch den zur Geraden b dualen Punkt B. Aber nicht nur die Inzidenz bleibt erhalten, sondern auch Winkel und Längen gehen ineinander über. Das Maß d des Winkels zwischen zwei Geraden a und b entspricht (auf der Einheitskugel) dem Maß des Abstands d zwischen den zu den Geraden dualen Punkten A und B.

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