Spezielle Relativitätstheorie

Lorentztransformationen

Impuls, Masse und Energie

Stoß zweier Kugeln mit Änderung der Bewegungsrichtung um 90°

Im Bahnhof gibt es auch einen Spielsalon mit Billardtischen. Auf einem ereignet sich, als der Zug vorbeifährt, gerade Folgendes, aus Sicht des Beobachters am Bahnsteig geschildert: Zwei Billardkugeln, die jeweils dieselbe absolute Geschwindigkeit wie der Zug haben, sich aber senkrecht zum Gleis aufeinander zubewegen, stoßen völlig elastisch (aber nicht zentral) zusammen, und zwar so, dass die Verbindungsachse ihrer Mittelpunkte mit ihrer Bewegungsrichtung den Winkel 45° bildet. Durch den Zusammenstoß ändern sie nun ihre Richtung gerade parallel zum Gleis, so dass sie – immer noch gleich schnell – nun in Richtung des Zuges und in Gegenrichtung weiterrollen. Das nebenstehende Bild illustriert den Vorgang.

In der klassischen Mechanik ist der Impuls eines Objekts definiert als das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit des Objekts. Der Gesamtimpuls, der sich durch einfaches Addieren der Einzelimpulse ergibt, ist eine Erhaltungsgröße. In der Tat ist beim obigen Stoß der so definierte Impuls aus Bahnsteig-Sicht erhalten: Da die Kugeln sich sowohl vor als auch nach dem Stoß mit gegengleicher Geschwindigkeit bewegen, ist der so definierte Impuls vor wie nach dem Stoß null.

Aus dem Zug betrachtet rollen die Kugeln vor dem Stoß schräg aufeinander zu: Parallel zum Gleis haben beide die Geschwindigkeit des Bahnsteiges (da sie sich ja mit dem Bahnsteig mitbewegen), und senkrecht zum Gleis haben sie einander entgegengesetzte Geschwindigkeiten (diese Komponente beruht auf der Bewegung der Kugeln relativ zum Bahnsteig senkrecht zum Zug). Der Gesamtimpuls der beiden Kugeln senkrecht zum Gleis ist also null, parallel zum Gleis ist der Gesamtimpuls zweimal Kugelmasse mal Bahnsteiggeschwindigkeit.

Nach dem Stoß hat nun die eine Kugel die Geschwindigkeit – und damit auch den Impuls – null (aus Bahnsteigsicht ist sie mit Zuggeschwindigkeit in Zugrichtung unterwegs gewesen), somit muss nun die andere Kugel den gesamten Impuls tragen. Um die Geschwindigkeit der anderen Kugel zu bestimmen, muss jedoch nun die im vorigen Abschnitt betrachtete relativistische Geschwindigkeitsaddition verwendet werden, und – wie oben dargelegt – hat diese Kugel nun eine geringere Geschwindigkeit als das Doppelte der Bahnsteiggeschwindigkeit (= Zuggeschwindigkeit). Damit wird klar, dass die klassische Impulserhaltung nicht mehr gültig ist. Um den Erhaltungssatz wieder herzustellen, wird der relativistische Impuls verwendet, der stärker als linear mit der Geschwindigkeit ansteigt. Aus demselben Grund muss auch die kinetische Energie bei hohen Geschwindigkeiten schneller ansteigen, als sie es nach der klassischen Mechanik tut.

Die Äquivalenz von Masse und Energie besagt, dass man die Energie jedes ruhenden Teilchens an seiner Masse m ablesen kann. Die Ruheenergie ist doppelt so groß wie in der newtonschen Mechanik die kinetische Energie des Teilchens wäre, wenn es sich mit Lichtgeschwindigkeit c bewegte:

E_Ruhe = mc²

Weil man an der Masse die Ruheenergie ablesen kann, versteht man, warum bei radioaktivem Zerfall die Tochterteilchen zusammen weniger Masse haben als der Ausgangskern: Ein Teil der anfänglichen Ruheenergie ist in kinetische Energie der Tochterteilchen und in Strahlung umgewandelt worden.

Ordnet man auch der Energie von bewegten Teilchen durch

E = m_{relativistisch} c²

rechnerisch eine Masse zu, so ist diese Masse geschwindigkeitsabhängig. Sie heißt relativistische Masse. Mit ihr schreibt sich der relativistische Impuls wie in Newtons Mechanik als Masse mal Geschwindigkeit.

Der Begriff der relativistischen Masse wird jedoch in der modernen Physik aus mehreren Gründen gemieden. Anders als in Newtons Physik ist sie nicht das Verhältnis von Beschleunigung und Kraft und man kann sie nicht mit einer Waage im Gravitationsfeld messen. Vor allem aber hat man für die relativistische Masse bis auf den konstanten Faktor c² schon die Bezeichnung Energie. Die Masse hängt also wie in Newtons Physik nicht von der Geschwindigkeit ab, wohl aber die Energie. Wie in Newtons Physik hat die Energie insgesamt bei allen Vorgängen den unveränderten Wert, den sie zu Beginn hatte. Sie ist eine additive Erhaltungsgröße. Die Masse kann hingegen zum Beispiel bei Kernzerfällen abnehmen.

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