Spektralradius

Spektralradius von Matrizen

Definition

Der Spektralradius einer -Matrix ist der Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts von A, das heißt

.

Dabei durchläuft die höchstens n verschiedenen Eigenwerte von A.

Eigenschaften

Jede induzierte Matrixnorm von A ist mindestens so groß wie der Spektralradius. Ist nämlich ein Eigenwert zu einem Eigenvektor v von A, dann gilt

.

Allgemeiner gilt diese Abschätzung für alle mit einer Vektornorm verträglichen Matrixnormen. Weiterhin gibt es zu jedem wenigstens eine induzierte Norm (die für verschiedene Matrizen A unterschiedlich sein kann), so dass

gilt. Ferner gilt für jede induzierte Matrixnorm

.

Anwendungen

Der Spektralradius ist beispielsweise bei Splitting-Verfahren von Bedeutung. Falls , dann konvergiert die Iteration

für jeden Startvektor x₀ gegen die exakte Lösung x^* des linearen Gleichungssystems Ax = b.

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