Skalarprodukt

Matrixdarstellung

Ist V ein n-dimensionaler Vektorraum und B = (b₁ , ..., b_n ) eine Basis von V, so kann jedes Skalarprodukt auf V durch eine ()-Matrix G, die gramsche Matrix des Skalarprodukts, beschrieben werden. Ihre Einträge sind die Skalarprodukte der Basisvektoren:

G = (g_ij )_{i, j = 1, ..., n}   mit     für i, j = 1, ..., n

Das Skalarprodukt lässt sich dann mit Hilfe der Basis darstellen:Haben die Vektoren bezüglich der Basis B die Darstellung

  und  

so gilt im reellen Fall

Bezeichnet man mit die Koordinatenvektoren

  und 

so gilt also

FormelGen :$\langle x,y \rangle = \sum\limits_{i,j = 1}^n x_i\, g_{ij} \, y_j = \begin{pmatrix} x_1 & \dots & x_n \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} g_{11} & \dots & g_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ g_{n1} & \dots & g_{nn} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \end{pmatrix} = x_B{}^T G y_B, $: Object reference not set to an instance of an object.

wobei das Matrixprodukt eine -Matrix liefert, also eine reelle Zahl.Mit x_B ^T wird der Zeilenvektor bezeichnet, der durch Transponieren aus dem Spaltenvektor x_B entsteht.

Im komplexen Fall gilt entsprechend

FormelGen :$\langle x,y \rangle = \sum\limits_{i,j = 1}^n \overline x_i\, g_{ij} \, y_j = \begin{pmatrix} \overline x_1 & \dots & \overline x_n \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} g_{11} & \dots & g_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ g_{n1} & \dots & g_{nn} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \end{pmatrix} = x_B{}^H G y_B, $: Object reference not set to an instance of an object.

wobei der Überstrich komplexe Konjugation bezeichnet und x_B ^H der zu x_B adjungierte Zeilenvektor ist.

Ist B eine Orthonormalbasis, das heißt, gilt für alle i und für alle so ist G die Einheitsmatrix, und es gilt

FormelGen :$\langle x,y \rangle = \sum_{i = 1}^n x_i \, y_i = x_B{}^T \, y_B$: Object reference not set to an instance of an object.

im reellen Fall bzw.

FormelGen :$\langle x,y \rangle = \sum_{i = 1}^n \overline x_i \, y_i = x_B{}^H \, y_B$: Object reference not set to an instance of an object.

im komplexen Fall.Bezüglich einer Orthonormalbasis entspricht das Skalarprodukt von x und also dem Standardskalarprodukt der Koordinatenvektoren x_B und bzw. .

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