Skalarprodukt

Im euklidischen Raum

Geometrische Definition und Notation

Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum oder in der zweidimensionalen euklidischen Ebene kann man als Pfeile darstellen. Dabei stellen Pfeile, die parallel, gleichlang und gleichorientiert sind, denselben Vektor dar. Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist ein Skalar, das heißt eine reelle Zahl. Geometrisch lässt es sich wie folgt definieren:

Bezeichnen a = | a | und b = | b | die Längen der Vektoren a und b und bezeichnet den von a und b eingeschlossenen Winkel, so ist

.

Wie bei der normalen Multiplikation, aber seltener als dort, wird das Multiplikationszeichen manchmal auch weggelassen, wenn klar ist, was gemeint ist:

Statt schreibt man in diesem Fall gelegentlich auch a ² .

Andere übliche Notationen sind und .

Veranschaulichung

orthogonale Projektion b_a des Vektors b auf die durch a bestimmte Richtung

Um sich die Definition zu veranschaulichen, betrachtet man die orthogonale Projektion b_a des Vektors b auf die durch a bestimmte Richtung und setzt

Es gilt dann und für das Skalarprodukt von a und b gilt

Beispiele

Beispiel für alpha=0°/90°/60°

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