Simsonsche Gerade

Beweis

center

Bewiesen wird: Liegt P auf dem Umkreis von , so liegen die Fußpunkte auf einer gemeinsamen Geraden.Dazu zeigt man, dass gilt.

Die Fußpunkte E und F liegen auf dem Thaleskreis über [PA]. Da Umfangswinkel (Peripheriewinkel) über demselben Kreisbogen gleich groß sind, folgt

.

Andererseits ist PBCA voraussetzungsgemäß ein Sehnenviereck. Die gegenüberliegenden Winkel und dieses Vierecks ergänzen sich daher zu . Insgesamt ergibt sich also

.

Die Punkte D und F liegen auf dem Thaleskreis über [PB], sodass auch PBDF ein Sehnenviereck ist. Ähnlich wie vorher schließt man . Wegen erhält man daraus

.

Damit ist mit

die Behauptung bewiesen.

Bemerkung: Der angegebene Beweis bezieht sich auf die in der Skizze dargestellte Lage der Höhenfußpunkte. Liegen diese anders, muss die Begründung entsprechend variiert werden.

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