Sekantenverfahren

Verfahren

Konvergenz

Aufgrund der Verwandtschaft zum Newtonschen Verfahren gelten für die Konvergenz des Sekantenverfahrens ähnliche Bedingungen:

• Das Sekantenverfahren konvergiert superlinear mit Konstanten 1,618, (dies entspricht dem Verhältnis des goldenen Schnittes), d.h. die Zahl der korrekten Stellen des Näherungswertes erhöht sich pro Durchgang um mehr als eine. Dies hängt damit zusammen, dass der Differenzenquotient nur eine Näherung für die Ableitung ist, entsprechend geringer ist die Konvergenz im Vergleich zum quadratisch konvergenten Newton-Verfahren.
• Die Funktion f muss im Definitionsbereich stetig verlaufen und genau eine Nullstelle besitzen.
• Das Verfahren verliert an Genauigkeit und Konvergenzgeschwindigkeit, wenn die Ableitung f'(x) an der Nullstelle 0 wird, da sich in der Berechnung ein Ausdruck der Form ergibt. Speziell bei Polynomen entspricht dies einer mehrfachen Nullstelle.
• Bei der numerischen Berechnung stellt sich das Problem, dass der Differenzenquotient

mit zunehmender Annäherung an die Nullstelle durch Auslöschung der Ziffern in die Form 0/0 übergeht. Während das Verfahren selbst die Abschätzung für die Nullstelle immer weiter verbessern könnte, wird in der tatsächlichen Berechnung dieser Gewinn in der Nähe der Nullstelle durch zunehmende Rundungsfehler überkompensiert. Dadurch lässt sich auf Rechnern mit endlicher Stellenzahl prinzipiell mit dem Sekantenverfahren nicht die Genauigkeit des Newtonschen Verfahrens erreichen.

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